柯西不等式各种形式与证明的应用

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1、.柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中,等号成立条件:扩展:等号成立条件:二维形式的证明:三角形式......三

2、角形式的证明:向量形式向量形式的证明:一般形式一般形式的证明:......证明:推广形式(卡尔松不等式):卡尔松不等式表述为:在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。或者:或者推广形式的证明:推广形式证法一:......或者推广形式证法二:事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证,这个不等式并不难,可以简单证明如下:......付:柯西(Cauchy)不等式相关证明方法:等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下:证明1:构造二次函数=恒成立......即当且仅当即时等号成立证明(2)数学归纳法(1)当时左式=右式

3、=显然左式=右式当时,右式右式仅当即即时等号成立故时不等式成立(2)假设时,不等式成立即当,k为常数,或时等号成立设则当,k为常数,或时等号成立即时不等式成立综合(1)(2)可知不等式成立......二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例1:设a、b、c为正数且互不相等。求证:.均为正数   为证结论正确,只需证: 又又互不相等,所以不能取等原不等式成立,证毕。2、求某些特殊函数最值例2:函数的定义域为[5,9],3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点及直线设点p是直线上的任意一点,则(1)......(2)点两点间的距离就是点到直线的距离,求(2)式

4、有最小值,有由(1)(2)得:即(3)当且仅当(3)式取等号即点到直线的距离公式即4、证明不等式例3已知正数满足证明证明:利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2,再加上得:......故4、解三角形的相关问题例4设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明证明:由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。5、求最值例5已知实数满足,试求的最值解:由柯西不等式得,有即由条件可得,解得,当且仅当时等号成立,代入时,......时7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程解:由柯西不等式,得①又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得它与

5、联立,可得8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中,有样本相关系数,并指出且越接近于1,相关程度越大,越接近于0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记,,则,......,由柯西不等式有,当时,此时,,为常数。点均在直线上,当时,即而为常数。此时,此时,,为常数点均在直线附近,所以越接近于1,相关程度越大当时,不具备上述特征,从而,找不到合适的常数,使得点都在直线附近。所以,越接近于0,则相关程度越小。9、关于不等式的几何背景几何背景:如图,在三角形中,,则Q(c,d)O......P(a,b)将以上三式代入余弦定理,并化简,可得或

6、因为,所以,,于是.柯西不等式的相关内容简介(1)赫尔德(Holder)不等式当时,即为柯西不等式。因此,赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式,在分析学中有着较为广泛的应用。(2)平面三角不等式(柯西不等式的等价形式)可以借助其二维形式来理解,根据三角形的两边之和大于第三边,很容易验证这一不等式的正确性。该不等式的一般形式称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的,即对于点,定义其距离为.......闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何,建立了一种类似于现代度量空间的理论,即实变

7、函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。.....

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