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《柯西不等式在一类椭圆问题中的运用-苏州实验中学.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、柯西不等式在椭苏州高新区第一中学张阿南摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，它木身和它的推广，对解决不等式证明、最值求解、几何二角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，笔者发现在解析几何屮，灵活巧妙地使用柯西不等式，能使一些难题迎刃而解，大大减少运算量，起到事半功倍的效果,木文通过实例阐述如何运用柯西不等式解决椭圆最值问题关键词：柯西不等式，解析儿何，椭圆最值问题苏教版新课标的选修教材《不等式选讲》屮介绍了柯西不等式，它对解决不等式证明、最值求解、儿何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，柯西不等式的学习和使用能够拓展学生的知识面，提高学生的数
2、学学习能力。二维柯两不等式：设a,b,c,d1R,贝"亍+方2）（疋+〃2）?（M加尸，当且仅当-=-时，不等式取等号，由此可以推得ca结论一：如果二+「=1,贝ij(/7tr+ny)~?(ma)2(nb)2,crtr当且仅当一鼻=寻时，不等式取等号mcrnb^证明:(ma)2+(nby=)2+(nh)2?(nvc当且仅当一鼻=莘时，不等式取等号mcrfitr2222结论二：如果工+舌=1,冥+存=1,则crtrcrtr（1）（西％+兀2必）2□/戾，当且仅当纽=空时，不等式取等号，ay2hx2（2）（尢』2・兀』
3、）2口。诂2,当且仅当纽=・単时，不等
4、式取等号ay2bx2证明：（1）（西”+〉声）2=Q芳（玉?邑山涎）2/方2（工+工）（卑+g）=a2b2f〜abbacr少tr0当且仅当如=型时，不等式取等号V厶厶当且仅当纽一吳时ay2bx2不等式取等号（-y.）2b2(2)(心2・)小)2=丹2(鱼?半严盜尸abba下更笔者通过实例阐述如何运用上述结论解决椭圆最值问题:例］.设实数"满足条件尹訐1,求一心的最大值。解：由柯西不等式得r=（2兀+y）2?当且仅当沽尹等式取等号4VH3躺或114VTTX-L（舍）3V11y=11Zmax=妬2变式：求与2x・y+3=0平行且和椭圆土+/=1相切的直线方
5、稈及切点坐标。解：设切线方程为z,由图可知，切线2兀・y=z［使纵截距-z最小，使z最大,切线2兀・y=Z2使纵截距・z最大，使z最小，则问题变为在约束条件三~+y=1下，求目标函数z=2ry的最值问题，所以求z=2ry的最值即可求得切线x当且仅当寻=十即乂6丁时取等乃(2兀・刃„期=V13,(2x-y)min=-V13故所求切线的方程为2兀・y?V130,将.尸・6y带入肓线方程得切点坐标为兽和（_例2・己知椭圆乞+j2=1,点A、B分别为椭圆的右顶点上顶点，C为在椭圆上的动点,4•求DABC面积S的最大值解：设Cdodo），由己知得A（2,0）,B
6、（01）,则肓线AB的方稈为兀+2尸2=0所以点C到直线AB的距离d=
7、如+2凡・2由柯西不等式得:Vo"+22・2血？如2y°□2V2・2^2・2?x02y0-2?2^22兀。+2几・2
8、2^2+2厉匕~JT珂=2几当且仅当1尤2汁FS=2(5DAOC+S°BOC)=兀+2yXQ=y/2血（舍）时，不等式取等号>0=—1+2又阿"，所以DABC面积S的最大值为浮古=后1兀2变式：已知椭圆亍宀］,点A、〃分别为椭圆的右顶点上顶点，育线尸W>。）与椭圆相交于C、D两点，求四边形ACBD面积S的最大值。解：设点C（av）（x>0）,由已知得A0=2,
9、B0=1,由椭圆的对称性易知四边形ACBD的面积等于四边形AOBC的两倍，，所以四边形ACBD的曲积由柯西不等式得S2=（兀+2y）2?（号尸y0222+22=8'当且仅当亍評“血时取等号，所以四边形的面积的最大值为M例3.已知椭圆二+匚=1,育线人与椭圆交于两点A,B,O坐标原点，求DOAB面积Scr少的最大值。
10、^1>2-^2>1
11、解：设A(x^y}B(x2,y2),则肓线4B的方程为(必-y2)x-(x(-x2)y+x}y2-x2y}=0,所以原点O到盲线AB的距离d=-7=°V(XI-兀2)'+()'
12、・>2)又IAB
13、=J(X]・兀2)'
14、+(>'l・力)''S歸?血.宀爪小屆炸+卫加訴“栩2,22又两点A,B都在椭圆上，工+实=1,二+4crkra2x{y2-y{x2rah当且仅当纽=・空时，不等式取等号ay2bx2所以DOAB面积的最大值为詁22变式••过原点。作貞线以与椭圆尹糸1交于A.B.C.D四点,直线的斜率分别为a2你匕求证：四边形ABCOffi积S的最大值为lab.且何？&证明：由椭圆的对称性可知：Sdoab=Sdo眈Sdocd=SdoadS=4Sdoab,由例3结论可知S£2〃，所以S的最大值为2"b2当且仅当纽=・燮时，不等式取等号ay2bx^山？立・作,即代？
15、化-2石x2/一cr柯西不等式虽然还只是选修内容，但是近几年以柯西不等式为背景的
