2019-2020年苏教版高中数学选修4-5不等式：柯西不等式在椭圆最值问题中的运用 教案

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1、2019-2020年苏教版高中数学选修4-5不等式：柯西不等式在椭圆最值问题中的运用教案苏州高新区第一中学摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，它本身和它的推广，对解决不等式证明、最值求解、几何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，笔者发现在解析几何中，灵活巧妙地使用柯西不等式，能使一些难题迎刃而解，大大减少运算量，起到事半功倍的效果，本文通过实例阐述如何运用柯西不等式解决椭圆最值问题关键词：柯西不等式，解析几何，椭圆最值问题苏教版新课标的选修教材《不等式选讲》中介绍了柯西不等式，它对解决不等式证明、最值求解、几何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，柯西不等式的学习和使用能够

2、拓展学生的知识面，提高学生的数学学习能力。二维柯西不等式：设，则，当且仅当时，不等式取等号，由此可以推得结论一：如果，则，当且仅当时，不等式取等号证明：当且仅当时，不等式取等号结论二：如果，则（1），当且仅当时，不等式取等号，（2），当且仅当时，不等式取等号证明：（1），当且仅当时，不等式取等号（2）当且仅当时，不等式取等号下面笔者通过实例阐述如何运用上述结论解决椭圆最值问题：例1.设实数满足条件，求的最大值。解：由柯西不等式得当且仅当不等式取等号由得变式：求与平行且和椭圆相切的直线方程及切点坐标。解：设切线方程为，由图可知，切线使纵截距最小，使最大，切线使纵截距最大，使最小，则问题变为在约

3、束条件下，求目标函数的最值问题，所以求的最值即可求得切线当且仅当即时取等号故所求切线的方程为，将带入直线方程得切点坐标为和例2．已知椭圆，点、分别为椭圆的右顶点上顶点，为在椭圆上的动点，求面积的最大值解：设，由已知得，则直线的方程为所以点到直线的距离由柯西不等式得：当且仅当即时，不等式取等号又，所以面积的最大值为变式：已知椭圆，点、分别为椭圆的右顶点上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形面积的最大值。解：设点，由已知得，由椭圆的对称性易知四边形的面积等于四边形的两倍，，所以四边形的面积由柯西不等式得，当且仅当即时取等号，所以四边形的面积的最大值为例3．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，坐标原点

4、，求面积的最大值。解：设，则直线的方程为，所以原点到直线的距离，又，又两点都在椭圆上，当且仅当时，不等式取等号所以面积的最大值为变式：过原点作直线与椭圆交于四点，直线的斜率分别为，求证：四边形面积的最大值为，且。证明：由椭圆的对称性可知：，，由例3结论可知，所以的最大值为当且仅当时，不等式取等号，即柯西不等式虽然还只是选修内容，但是近几年以柯西不等式为背景的高考题也已出现，在解决涉及到具有约束条件的多元函数最值问题中，有着独特的优势，只要对照柯西不等式的标准形式，创造出两组适应的数式，就能顺利解决问题。[参考文献][1]李世臣《二维柯西不等式在解析几何上的应用》《数学教学研究》2000年．[

5、2]徐胜林《柯西不等式及其应用》《数学通讯》xx年[3]方廷刚《利用柯西不等式解等式问题》《数学通讯》2001年