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《高中数学 5.5 运用不等式求最大（小）值 5.5.2 利用柯西不等式求最大（小）值同步测控 苏教版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值同步测控我夯基,我达标1.函数y=的最大值为()A.3B.C.2D.解析:y2=()2≤［12+()2］［()2+()2］=3,∴y≤.答案:B2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为()A.B.2C.D.3解析:∵(2x+y)2=(·+y)2≤［()2+1］［()2+y2］=3(2x2+y2)=3,∴2x+y≤.答案:C3.已知3x+y=5,则3x2+2y2的最小值为()A.B.25C.5D.10解析:∵(3x+y)2≤()2≤［()2+()2］·［(x)2+(y)2］=(3x2+2y2),∴3x2+2
2、y2≥×25=.答案:A4.已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+,则的最小值为()A.3B.1C.D.解析:∵()［(3-a)+(3-b)+(3-c)］≥a+b+c=3,而(3-a)+(3-b)+(3-c)=9-(a+b+c)=6,∴≥.答案:D5.a12+a22+…+a102=6,x12+x22+…+x102=24,则a1x1+a2x2+…+a10x10的最大值为()A.6B.12C.24D.144解析:∵(a12+a22+…+a102)(x12+x22+…+x102)≥(a1x1+a2x2+…+a10x10)2,∴a1x1+a2x2+…+a1
3、0x10≤=12.答案:B6.已知x+2y+3z=6,则x2+2y2+3z2的最小值为()A.6B.36C.12D.24解析:∵(x+2y+3z)2=()2≤［12+()2+()2］·［x2+()2+()2］=6(x2+2y2+3z2),∴x2+2y2+3z2≥6.答案:A7.已知a+b+c+d=,则的最小值为()A.B.2C.1D.4解析:∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2,∴.同理,,,∴(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)=×2(a+b+c+d)=2,∴最小值为2.答案:B8.已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为()A
4、.3B.1C.D.-1解析:∵()2≤(12+22+32)［(2x+1)+(2y+3)+(3z+4)］=14(2x+2y+3z+8)=28(x+y+z+4),∴x+y+z+4≥.∴x+y+≥-4=-.答案:C我综合，我发展9.(a+b+c)(++)的最小值为______________(a、b、c∈R+).解析:(a+b+c)(++)≥()2=9.答案:910.a、b、c、d∈R+,则(+++)(+++)的最小值为_______________.解析:利用柯西不等式,原式≥(1+1+1+1)2=16.答案:1611.若a+b+c+d=1,且a、b、
5、c、d∈R+,则的最小值为__________.解析:∵［(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)］(+++)≥a+b+c+d=1,∴++≥.答案:12.已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求证:≥n.证明:∵(x1+x2+…+xn)()≥(1+1+…+1)2=n2,又∵x1+x2+…+xn=n,∴++…+≥n.13.已知2x2+y2+5z2=3,求S=x+2y+3z的最大值.解:S2=(x+2y+3z)2=［(x)+2·y+］2≤［()2+22+()2］［(x)2+y2+(z)2］=(+4+)(2x2+y2+5z2)
6、=(2x2+y2+5z2)=×3=,∴S≤.∴S的最大值为.我创新，我超越14.求三个实数x、y、z,使得它们同时满足下列等式:2x+3y+z=13,①4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82.②分析:可先观察两等式之间的联系,再进一步变形.解:①+②,得4x2+9y2+z2+18y+4z=95,即(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108.由①得2x+(3y+3)+(z+2)=18,∴182=［(2x)+(3y+3)+(z+2)］2≤(12+12+12)［(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2］=108×3.当且仅当2x=3y+3=
7、z+2=6时取“=”.∴x=3,y=1,z=4.15.已知正数x、y、z满足x+y+z=xyz且不等式≤λ恒成立,求λ的取值范围.分析:本题的已知条件为x+y+z=xyz,所证的不等式中有和,需要转化为积,由平均不等式转化.解:∵x、y、z为正数,∴+≤=()=()≤［(12+12+12)()=,∴λ的取值范围为［,+∞).
