高中数学 5.5 运用不等式求最大（小）值 5.5.1 利用平均不等式求最大（小）值同步测控 苏教版选修4-5

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1、5.5.1运用算术－几何平均不等式求最大（小）值同步测控我夯基,我达标1.设x、y∈R+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是()A.40B.10C.4D.2解析:lgx+lgy=lg(xy)=lg≤lg=lg=2.答案:D2.设x、y∈R+,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2D.xy≥2(+1)解析:∵x、y∈R+,∴xy≤()2.∴()2-(x+y)≥1,即(x+y-2)2≥8.∴x+y≥2(+1).而xy-(x+y)≤xy-2,∴xy-2≥1,即(-1)2≥2.∴≥+1.即xy≥3+.答案为A.答案:A

2、3.设x、y∈R,且x+y=4,则3x+3y的最小值为()A.9B.18C.3D.6解析:∵3x+3y≥==18.答案:B4.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则()A.Rb>1,∴lga>lgb>0.∴Q>P.∵R=lg>lg=(lga+lgb)=Q,∴R>Q>P.答案:B5.下列命题中,①x+的最小值是2;②的最小值是2;③的最小值是2;④2-3x-的最小值是2.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①x不一定为正数,错;②≥2,当且仅当x=0时取“=”,正确;③=≥2

3、,但≠,∴等号取不到;④2-3x-中x的正负不定,错.答案:A6.x>0,y>0且x+y=1,则≤a恒成立的a的最小值是()A.B.C.2D.解析:∵a2≥()2=x+y+2,又∵x+y+2≤2(x+y)=2,由≤a恒成立,得a2≥2,即amin=.答案:B7.若x+3y+2z=6,则μ=3x+27y+9z的最小值为()A.6B.9C.27D.81解析:μ=3x+27y+9z≥==27.答案:C8.若x>0,则4x+的最小值为()A.50B.100C.D.20解析:4x+=2x+2x+≥.答案:C我综合，我发展9.设x>0,y>0,x2+=1,则的最大值为_________

4、_______.解析:∵x>0,y>0,x2+=1,∴=≤.答案:10.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的最小值为________________.解析:∵a>0,b>0,a+b≥2,∴ab=a+b+3≥2+3.∴(-3)(+1)≥0.∴-3≥0.∴ab≥9.答案:911.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角),则cosαcosβcosγ的最大值为______________.解析:∵cos2αcos2βcos2γ≤()3=()3=()3=,又∵α、β、γ均为锐角,∴cosαcosβcosγ≤.答案:12.函数①y=x2+;②y=;③y=e

5、x+4e-x;④y=sinx+(00,y=sinx+≥=4.但sinx≠,∴最小值不是4.答案:①③13.已知a>b>0,求a2+的最小值.分析:可构造乘积为定值,求和的最小值.解:∵a>b>0,∴a-b>0.∴0

6、=且b=a-b,b==时取“=”.∴当a=,b=时,a2+最小为16.14.当00.∴y=x2(1-3x)=≤×［］3=×=.当且仅当=1-3x,即x=时取“=”,ymax=我创新，我超越15.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是宽和长分别为x、y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)分析:根据题意列出等式,表示出料长,求最小值.解:由题意得x·y+·x·=8,∴y=(0

7、2()=(+)x+≥,当(+)x=,即x==8-时等号成立,此时x=2.343,y==2.828.∴当x=2.343m,y=2.828m时用料最省.16.某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价为400元,两侧墙砌砖,每米长造价450元,顶部每平方米造价为200元,试计算:仓库面积S最大为多少?这时铁栅长多少?解:设铁栅长为xm,一堵墙长为ym,则S=xy,由题意,得400x+2×450y+200xy≤32000,即4x+9y+2xy≤320.∵4x+