矩阵在解题中的妙用

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1、摘要矩阵是高等数学中的重要内容之一，也是数学研究和应用的一个重要工具.本文首先介绍矩阵的概念及其运算性质，如矩阵的逆、矩阵的加法、乘法等，然后结合大量的相关例题，来说明矩阵在概率、解析几何、解线性方程组及实际生产生活等问题中是如何妙用的.关键词：行列式；矩阵；转移矩阵；线性方程组IIIAbstractThematrixisanimportantcontentinhighermathematics,itisalsoanimportanttoolforresearchandapplicationofmathematics.Thispaperfirstintroducestheconce

2、ptofthematrixanditsoperationalproperties,suchasthematrixinverse，thematrixadditionandthemultiplication,andsoon,andthencombinswithlargenumbersofrelevantexamplestoillustratethematrixintheprobability，theanalyticgeometry，thesolvinglinearequationsandtheactualproductionlifeetcproblemsishowtoapplied.K

3、eywords：determinant；matrix；transfermatrix；linearequationsIII目录摘要IABSTRACTII前言1第1章矩阵的概念与性质2第1节矩阵的概念2第2节矩阵运算及性质4第2章矩阵的应用7第1节矩阵在概率中的妙用7第2节矩阵在几何中的妙用8第3节矩阵在解线性方程组中的妙用11第4节矩阵在实际生产生活中的妙用15结论20参考文献21致谢22III绥化学院2010届本科生毕业论文前言矩阵是线性代数中的一个基本内容，也是主要研究对象之一.根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的，然而在公元前

4、我国就已经有了矩阵的萌芽，在我国的《九章算术》一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论，如今，矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支，既是学习数学的基础，又是一门有实用价值的理论.矩阵的研究有极其丰富的内容，我们在日常生活中无意识的应用着矩阵，如在各循环赛中常用的赛况表格、旅程时间表、学校的课程表以及其它与行列有关的图表，而且在科技发展的今天，矩阵在其它学科中有着重要的作用，如物理学，社会学，计算机编程，控制论，电子信息科学与技术，运筹学等，当然在数学中的应用是最为广泛的.本文首先介绍了矩阵的发展史，其次给出矩阵的

5、定义及其运算性质，如矩阵的加法、乘法及矩阵的逆、矩阵的初等变换等，最后主要是通过大量的实例来验证矩阵在概率、几何、解线性方程组等方面的妙用.22绥化学院2010届本科生毕业论文第1章矩阵的概念与性质这一章简述矩阵的一些基本概念和运算的基本性质，如转移矩阵、矩阵的逆等.第1节矩阵的概念定义1矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标，，都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列.特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维

6、行向量.定义2当一个矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为一个阶方阵.对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为副对角线.定义3若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即.定义4若矩阵满足：（1）零行（元素全为的行）在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，22绥化学院2010届本科生毕业论文则称此矩阵为行阶梯形矩阵，例如.定义5若矩阵满足：（1）行阶梯形矩阵；（2）各非零行的首非零元均为；（3）首非零元所在列的其它元素均为，称为行最简形矩阵，如.定义6(矩阵的逆)设是

7、数域上的一个级方阵，如果存在上的级方阵，使得，则称是可逆的，又称为的逆矩阵，当矩阵可逆时，逆矩阵由唯一确定，记为.定义7矩阵的初等变换（1）倍法变换是以一个非零常数乘矩阵中某一行（或列）；（2）消法变换是将矩阵中某一行（或列）的数倍加到另一行（或列）；（3）换位变换是对调矩阵中任意两行（或列）的位置，显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换，把矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义8如果经过有限次初等变换变为矩阵，称矩阵与是等价的，记