分块矩阵在矩阵证明题中的应用

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1、52赵中华：分块矩阵在矩阵证明题中的应用教学园地分块矩阵在矩阵证明题中的应用赵中华南京财经大学应用数学学院南京210046摘要结合矩阵中的一些结论，讨论分块矩阵在矩阵证明题中的应用。例题说明分块的方法是矩阵证明题中较简捷、有效的方法。关键词分块矩阵；秩；初等变换中图分类号：0241．6文献标识码：B文章编号：1671—489X(2010)09—0052—03ApplicatiOFIofBlockMatriXinProofofMatrix／／ZhaoZhonghuaAbstractThepaperdiscussesth

2、eapplicationofblockmatrixintheproofofmatrix，combinedwiththeconclusionsofmatrix．Examplesshowthatthewayofblockismoreeffectiveandsuccinctintheproofofmatrix．Keywordsblockmatrix：rank：primarytransformationAuthor’SaddressInstituteofApplledMaths，NanjingUniv．ofFinance＆E

3、conomics，Nanjing，China210046在高等代数中，矩阵分块的方法对矩阵证明题来说是一种很好的方法。本文结合矩阵的初等变换、矩阵秩的有关性r()+r质，对相关矩阵进行分块或构造相关的分块矩阵，讨论分块矩阵在证明题型中的应用。()+。先以常用的2X2的分块矩阵为例，给出几个与分块矩阵11在秩的不等式证明中的应用相关的定义与性质。、㈣例l设A=A⋯，B=B⋯定义1：对／／+n阶单位矩阵作2X2分块，即，：0证明：r()+r()一≤r(AB)min{r(A)，r()}。E：f101，然后对其作相应的初等变

4、换所得到的矩阵O．0J、●，／0，、称为分块初等矩阵。证明构造fA0J]，对其进行如下初等变换：由定义1可得，分块初等矩阵具有以下形式：1)分块初等对换阵：]；(A：]—一一]—一]2)分块初等倍乘阵：((吕]；·．·‘．·rc()+rc(B)r(【E]J=(【E一0]J：，c()+3)分块初等倍加阵：．．r()+，(曰)一≤r(AB)其中P、p分别是m阶和邡介可逆方阵。注：在使用分块初等矩阵乘法时，要注意所作分块必须又(吾，使得分块乘法的运算能进行。故r(AB)(C)=()。由定义1，给出分块初等矩阵的性质。性质1

5、：对分块矩阵进行一次行(列)初等变换，相当⋯)于左(右)乘一个相应的分块初等矩阵。AB性质2：分块初等矩阵是可逆矩阵，分块初等变换不改变矩阵的秩。min{r(A)，r()}。性质3：对一个分块矩阵左(右)乘一个分块初等矩注：本例中，若，4=0，贝0r()+r(B)。阵，不改变原分块矩阵的秩。1．2在秩的等式证明中的应用1分块矩阵在秩的证明题中的应用例2A设为n阶方阵，证明：证明方法：利用分块初等矩阵的性质和秩的性质。秩的2个性质：A。=Er(E+A)+r(E一)=，2。作者：硕士，讲师。2010年3月下第9期(总第1

6、95期)中国教育技术装备．．．．．．．，教学园地●赵中华：分块矩阵在矩阵证明题中的应用53一2一+)证明如上，PAQ0证明构造f0]，对其进行如下初等变换：010E—AJ0＼、●●●●●●／Oo)2=HL，E+0AE0]0]o?,l~o一E+AE—A(E0)Q，所以r()=，()=，。]f【E：+AE2+E]J—_!4分块矩阵在矩阵行列式相关问题中的应用证明方法：利用分块矩阵的初等变换及行列式的运算。例6设A=A⋯，B=Bn，m≥n。证明：l2E一ABI=一l2E一ABI。·．．，(E一0]=r[(E]证明构造fmA

7、]，对其进行如下初等变换：即：r(E+A)+r(E一)=r(E—A)+r(E)=r(E—A。)+n_]—．．，(E+)+r(E—A)=n营A=E2分块矩阵在矩阵存在性问题中的应用即E-AI(~证明方法：利用矩阵秩的化简结论。02E结论：设A是一个矩阵，rr1=r，则r(A)=，或．=仃]—一]，存在脚阶可逆矩阵P和月阶可Ill×月逆矩阵，使(，O]满(一BE]八(EBE]J=AE0E一2-。BA]／AEPAQ若』4行满秩时，PAQ=0州⋯))。枷I=Z"E．-2-1BA／，，。，例3设O=B且r(B)=n。·．1AE

8、-ABl=1一BA证明：存在=，且r(A)=n，使AB=E。注：此题也可转化为证明秩的问题r(2E一AB)=m—n+r(E-BA)。5分块矩阵在矩阵求逆问题中的应用，使P曰Q=(]．-．=尸(]Q一=P(‘]证明方法：利用分块矩阵的初等变换及分块矩阵求逆的方法及结论。结论：若n阶方阵=(詈]，其中AB=(Q。)PP'[Qo-]_。A∈R．B∈R