分块矩阵的应用

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1、2006年10月枣庄学院学报Oct.2006第23卷　第5期JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSITYVol.23NO.5分块矩阵的应用孔庆兰(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄　277160)[摘　要]本文详细、全面论述证明了矩阵的分块在《高等代数》中的应用,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题,用分块矩阵求逆矩阵问题,用分块矩阵求矩阵的行列式问题,用分块矩阵求矩阵的秩的问题,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵问题.[关键词]分块矩阵;矩阵乘积的秩;逆矩阵;行列式[中图分类号]O151.21[文献标识码]A[文章编号]1004-7077(2006)05-0024-031

2、　用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理定理1.秩(AB)≤秩A,且秩(AB)≤秩B,即秩(AB)≤min{秩A,秩B}证:(1)令Cm×s=Am×n=Bn×s令A=(α1,α2⋯,αn),C=(γ1,γ2,⋯,γs)b11b12　⋯　b1sb21b22　⋯　b1s则(γ1,γ2,⋯,γs)=(α1,α2⋯,αn),　　⋯　⋯bn1bn2　⋯　bnsγ1=b11α1+b21α2+⋯+bn1αnγ2=b12α1+b22α2+⋯+bn2αn∴⋯⋯γs=b1αs1+b2αs2+⋯+bnαsn∴γ1,γ2,⋯,γs(1)可由α1,α2,⋯,αn(2)线性表示∴秩(1)≤秩(2),即秩C=秩(AB)≤秩

3、Aη1β1η2β2··(2)令C=,B=····ηmβnη1β1η2a11a12　⋯　a1nβ2·a21a22　⋯　a1n·∴=·　　⋯　⋯··am1am2　⋯　amn·ηmβn[收稿日期]2006-04-05[作者简介]孔庆兰(1963-),女,山东曲阜人,枣庄学院数学与信息科学系副教授,主要从事矩阵理论研究.·24·孔庆兰分块矩阵的应用η1=a11β1+a21β2+⋯+a1βnnη2=a21β1+a22β2+⋯+a2βnn∴⋯⋯ηm=am1β1+am2β2+⋯+amβnn∴η1,η2,⋯,ηm(3)可由β1β,2,⋯β,n(4)线性表示∴秩(3)≤秩(4),即秩C=秩(AB)≤秩B即

4、秩(AB)≤min{秩A,秩B}2用分块矩阵求逆矩阵问题-1-1A0A0若A、B都可逆,则=-10B0B-1-1-1-1-1-1ACA-ACBA0A0=,=-1-1-1-10B0BCB-BCAB21001100例11求矩阵S=的逆矩阵.-12251-1132125-12解:A=,B=,C=11131-11-13-519-30-1-1-1-1A=,B=,-BCA=-12-12-7111-100-1200-1∴S=19-303-5-711-123用分块矩阵求矩阵的行列式AB例21设A、B、C、D都是n阶矩阵,其中

5、A

6、≠0,且AC=CA,证明:=

7、AD-CB

8、CD证:∵

9、A

10、≠0　∴A可逆A

11、B(-CA-1)×(1)+(2)AB∴即-1CD0D-CABE0ABAB=-1-1-CAECD0D-CABE0又∵=1　∴上式取行列式得:-1-CAEABAB-1==

12、A

13、

14、D-CAB

15、-1CD0D-CAB-1-1-1=

16、A(D-CAB)

17、=

18、AD-(AC)AB

19、=

20、AD-C(AA)B

21、=

22、AD-CB

23、4用分块矩阵求矩阵的秩的问题例31设A、B都是n阶矩阵,求证:秩(AB+A+B)≤秩(A)+秩(B)AAB+A+B-E×(2)+(1)AAB+AA0证:∵0B0B(1)×(-B-E)+(2)0B·25·枣庄学院学报2006年第5期E-EAAB+A+BE-B-EA0∴,=0E0BEE0BE-

24、EE-B-E∵,都可逆0EEEAAB+A+BA0∴秩=秩0B0BAAB+A+B而秩≥秩[AB+A+B]0BA0秩=秩A+秩B0B∴秩(AB+A+B)≤秩(A)+秩(B)5利用分块矩阵,证明一个矩阵是零矩阵.x1x2·例41设A为n阶方阵,如果对任一n维向量X=,都有AX=0,那么A=0.··xn证:A=AE=A[ε1ε2⋯εn]=[Aε1Aε2⋯Aεn]=[00　⋯0]=0参考文献[1]北大数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]王卿文.高等代数学综论[M].香港:香港天马图书有限公司,2000.[3]杨子胥.高等代数习题解答[M].济南:山东科学技

25、术出版社,2001.[4]李桂荣.高等代数的方法研究[M].香港:香港亚太经济出版社,2001.ApplicationsoftheBlockMatricinHigherAlgebraKONGQing-lan(TheDepartmentofMathematicsandInformationSciences,ZaozhuangUniversity,Zaozhuang277160,China)Abstract:Theapplication