分块矩阵(四分块矩阵)初等变换的应用.

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1、陕西理工学院毕业论文分块矩阵（四分块矩阵）初等变换的应用潘望(陕西理工学院数计学院数学专业11级2班,陕西汉中723000)指导老师:周亚兰[摘要]求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩是高等代数中常见的问题.而对于高阶矩阵而言,这些问题的求解往往过于繁琐,甚至无法求解.但如果利用矩阵分块的方法,把矩阵的初等变换的思想和方法运用于分块矩阵,则可起到事半功倍的效果.本文总结了分块矩阵的初等变换的性质以及分块初等变换在求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩等方面的应用.[关键词]分块矩阵;初等变换;应用1引言矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法,用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块

2、,使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵.在运算中,我们有时把这些子块当作元素一样来处理,从而简化了表示,便于计算.分块矩阵初等变换是高等代数中重要而基本的运算,它在研究矩阵行列式,矩阵求逆,秩等各种性质及求矩阵的逆,解线性代数方程中有着广泛的应用.因此,如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要,本文的目的就是讨论四分块矩阵的初等变换及其应用.第1页共17页陕西理工学院毕业论文2预备知识2.1分块矩阵的定义把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵,然后把每个小矩阵看成一个元素,这样得到的矩阵称为分块矩阵.特殊的,如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上,就称为分块对角矩阵（准对角矩阵

3、）.如:是一分块矩阵,其中,,,,均表示的是一个矩阵.2.2四块分法分块形式为,的分块矩阵为四分块矩阵.这是一种比较一般的形式.在矩阵的乘法运算中应用较多,应用时尽量地让分出的小矩阵出现单位矩阵或零矩阵,这样可以位运算带来方便.第2页共17页陕西理工学院毕业论文2.3四分块矩阵的运算四分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样,只要进行运算的矩阵的分块适当,四分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则:加法：已知,,且与的分法相同,即,,其中与级数相同,则.乘法：已知,,且的列的分法与的行的分法相一致,,,则.其中,,,.数乘：已知,则.转置：若,则.2.4四分块矩阵初等变换四分块矩阵

4、的初等变换与普通矩阵的初等变换类似,也具有三种类型:换法变换:交换分块矩阵的,两行（列）,记作.如.倍法变换：用一个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的第行（列）,记作.如.消法变换：用一个矩阵左（右）乘分块矩阵的第行（列）后加到第行（列）,记作.如.可以看出,与初等矩阵和初等变换的关系一样,用初等矩阵去乘四分块矩阵只要四分块乘法能够进行,左乘就相当与对它做相应的广义初等行变换,右乘相当于做相应的广义初等列变换.四分块乘法和矩阵的初等变换有效的结合是矩阵的运算中一种极为重要的手段,灵活并巧妙的用这种手段,会使某些矩阵问题较为容易的得到解决.2.5四分块初等矩阵的性质性质2.1[1]分块初等

5、矩阵均为可逆的,且逆矩阵仍为分块初等矩阵.如第2页共17页陕西理工学院毕业论文第3页共17页陕西理工学院毕业论文;;.第3页共17页陕西理工学院毕业论文性质2.2[1]分块初等矩阵的转置仍为初等矩阵.如;;.性质2.3[1]设为分块矩阵,则对施行一次初等行（列）变换,相当于在的左（右）边乘以一个对应的分块初等矩阵.如,而,;而,,而.性质2.4[1]分块矩阵左（右）乘一个分块初等矩阵,分块矩阵的秩不变.3四分块矩阵初等变换的应用求矩阵的逆,矩阵的行列式,矩阵的秩是高等代数中常见的问题.而对于高阶矩阵而言,这些问题的求解往往过于繁琐,甚至无法求解.但如果利用矩阵四分块的方法,把矩阵的

6、初等变换的思想和方法运用于四分块矩阵,则可起到事半功倍的效果.3.1四分块矩阵在行列式计算中的应用在计算高阶矩阵行列式时,通常将矩阵四分块,利用四分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式,再利用三角形矩阵,准对角形矩阵行列式的性质计算.例1[2]设是一个四分块阶矩阵,中的四个矩阵,,,分别是,第4页共17页陕西理工学院毕业论文,,阶矩阵.（1）若可逆,则;（2）若可逆,则.证明（1）因为,两边同时取行列式,有.第4页共17页陕西理工学院毕业论文（2）又因为则.例2[2]设是一个四分块阶矩阵,其中中的四个矩阵,,,分别是,,,阶矩阵.（1）若可逆，则;（2）若可逆，则

7、.证明（1）因为,两边取行列式,得.（2）若可逆,,得.第5页共17页陕西理工学院毕业论文例3[3]设,,,都是阶矩阵,其中,且,证明：证明因为,所以是可逆的所以即有又因为,所以上式取行列式得.第5页共17页陕西理工学院毕业论文例4[4]设,都是阶方阵,则有.证明因为同样两边取行列式得所以结论即证.例6[1]设,均为阵,证明行列式的乘积公式.证明作,设,均为阵,作,,,这里为阵,除了第行第第6页共17页陕西理工学院毕业论文列元素为外,其他元素皆为零,则由初等矩阵与初等