矩阵分块与分块矩阵定义

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1、引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。30/31第一

2、章矩阵的分块和分块矩阵的定义设A是数域K上的矩阵，B是K上矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。A=于是A可用小块矩阵表示如下：，其中是矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为B=其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。二．分块矩阵加法和乘法运算设为同型矩阵（行和列数分别相等）。若采用相同的分块法。A=B=则可以直接相加乘法:设，则C有如下分块形式：C=，30/31其中是矩阵，且定义称数域K上的分块形式的n阶方阵A=为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩

3、阵。2、分块矩阵的一些简单基本性质命题阶准对角矩阵有如下性质：（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵），A=B=，有；AB=（2）、；（3）、A可逆等价于可逆，且。30/31第二章利用分块矩阵计算行列式1　引理　　设矩阵H=或H=其中A1,A2,…,As是实矩阵，且均为方阵,则

4、H

5、=

6、A1

7、

8、A2

9、…

10、As

11、2　利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式=2·1　矩阵A或B可逆时行列式

12、H

13、的计算命题1　设A、B分别为m与n阶方阵.证明:(1)当A可逆时,有=(2)当B可逆时,有=证　(1)根据分块矩阵的乘法,有由

14、引理知,两边取行列式即得(1).(2)根据分块矩阵的乘法,有两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆.推论1　设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明(1)（3）(2)

15、A-DC

16、.(4)30/31证明　只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4).推论2　C,D分别是n×m和m×n矩阵.证明：（5）证明：证明　在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).例1　计算下面2n阶行列式

17、

18、=(a≠0)解　令A=,B=，C=,D=且都为n阶方阵.由于

19、a≠0,故A为可逆方阵.又易知　从而由命题1中(1)得

20、

21、=例2　计算行列式(1),(ai≠0,i=1,2,…,n);30/31（2）解　(1)设Q=，其中A=(),B=,　C=,D=因为ai≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩阵.又易知从而由命题1中的(2)得=.=(2)设其中B=(c),Ｃ=,Ｄ＝由于CD==从而由推论1知,Q=2.2　矩阵A=B,C=D时行列式

22、H

23、的计算命题2　设A,C是两个n阶方阵.则　　证　根据行列式的性质和引理,有30/31==例3　计算行列式.D=解　这道题看似简单,但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设由命题

24、2知D====(X+Y+Z)(-X+Y-Z)(X+Y-Z)(-X+Y+Z)2.3　当A与C或者B与C可交换时行列式

25、H

26、的计算命题3　设A,B,C,D都是n阶方阵.(1)如果AC=CA,则==(2)如果BC=CB,则=例4　计算例2所给的2n阶行列式.解　设A,C如例2,则

27、=而AC=CA,由命题3知:==注意:①这里并不需要a≠0的条件.②在利用命题3计算高阶行列式时,如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便.30/313　矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式

28、H

29、命题4　设A为n阶可逆方阵,α与β均

30、为n维列向量.则=证　因为(7)(8)由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于故由(7)和(8)得==即　=注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n维列向量α与β组成的乘积这种分法是利用命题4计算n阶行列式的难点,它需要具有较强的观察能力.例5　计算下列n阶行列式:①D=②D=30/31解　①令　A=α=则有显然有D=

31、A+

32、.再由于

33、A

34、=(-1)·n!,且=(1,2,…,n)-n从而由命题4知:D=

35、

36、A+

37、=

38、A

39、(1+)=②令A=则有　==且D=

40、A+

41、再由于

42、A

43、=,且=30/31从而由命题4知:D=

44、