逆矩阵与分块矩阵

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1、第二章矩阵及其运算逆矩阵矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是n阶方阵.从乘法的角度来看，n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位类似于1在复数中的地位．一个复数a≠0的倒数a－1可以用等式aa－1=1来刻划.类似地，我们引入对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A，都有定义：n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的（如

2、果有的话）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵，记作A－1.下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A－1？结论：，其中定理：若，则方阵A可逆，而且推论：若，则.元素的代数余子式位于第j行第i列例：求二阶矩阵的逆矩阵.例：求3阶方阵的逆矩阵.解：

3、A

4、=1，则方阵A可逆此时，称矩阵A为非奇异矩阵容易看出：对于n阶方阵A、B，如果那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.定理：若方阵A可逆，则．推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且线性变换的系数矩阵是一个n阶方阵A，若记

5、则上述线性变换可记作Y=AX.例：设线性变换的系数矩阵是一个3阶方阵记则上述线性变换可记作Y=AX．求变量y1,y2,y3到变量x1,x2,x3的线性变换相当于求方阵A的逆矩阵.已知，于是，即矩阵分块法前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块

6、后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.这是2阶方阵吗？思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵．问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.分块矩阵的加法若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有形式上看成是普通矩阵的加法！分块矩阵的数乘若l是数，且则有形式上看成是普通的数乘运算！分块矩阵的乘法一般地，设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，把A、B分块如下：按行分块以及按列分块mn矩

7、阵A有m行n列，若将第i行记作若将第j列记作则于是设A为ms矩阵，B为sn矩阵，若把A按行分块，把B按列块，则分块矩阵的转置若，则例如：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．分块对角矩阵定义：设A是n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称A为分块对角矩阵．例如：分块对角矩阵的性质

8、A

9、=

10、A1

11、

12、A2

13、…

14、As

15、若

16、As

17、≠0，则

18、A

19、≠0，并且例:设，求A－1．解：例：往证Amn=Omn的充分必要条件是方阵ATA=Onn．证明：把A按列分块，有于

20、是那么即A=O．克拉默法则二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：方程组有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)给出.这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.关于克拉默法则的等价命题定

21、理4如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理4′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设例解线性方程组解线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…,0)就是一个解，称为零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.定理5

22、′如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.备注这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零练习题：问取何值时，齐次方程组有