分块矩阵求逆.doc

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1、一、分4块的矩阵求逆对于分块矩阵AB求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了CD，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在：AB

2、I0CD

3、0I第1行左乘-CA-1并加到第2行有：AB

4、I00D-CA-1B

5、-CA-1I第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有：A0

6、I+B(D-CA-1B)-1CA-1-B(D-CA-1B)-10D-CA-1B

7、-CA-1I第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：A-1+A-1B

8、(D-CA-1B)-1CA-1-A-1B(D-CA-1B)-1-(D-CA-1B)-1CA-1(D-CA-1B)-1注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。二、分9块的矩阵求逆对于分9块的矩阵A=[ABC;DEF;GHK]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。PAQI00

9、ABC

10、I-A-1B-A-1C-DA-1I0

11、DEF

12、0I0=B(具体见下三行)-GA-10I

13、GHK

14、00IA000E-DA-1BF-DA-1C[(K-GA-1C)-(H-GA-1

15、B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]0H-GA-1BK-GA-1C要求各灰色部分可逆可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A1=QB-1P，经过最终计算，A1表示如下:A-1+A-1(BMD+CRD)A-1+A-1(BNG+CSG)A-1-A-1(BM+CR)-A-1(BN+CS)-(MD+NG)A-1MN-(RD+SG)A-1RS其中：M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)

16、-1(F-DA-1C)]-1(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。