矩阵的任意分块求逆及其应用.pdf

《矩阵的任意分块求逆及其应用.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1999年2月四川大学学报(自然科学版)Feb.1999第36卷第1期JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.36No.1矩阵的任意分块求逆及其应用谭道盛　温启愚(四川大学数学学院　成都610064)摘要　得出了矩阵的任意分块求逆公式,并指出了它在回归分析中的广泛应用.关键词　分块矩阵,剔除算子,回归分析中图法分类号　O212.11　矩阵的剔除算子设E=(e1,⋯,ep)是p阶单位矩阵,ei是E的第i列.又设I=(1,⋯,p),J=(j1,⋯,jm

2、)是I的子集,且j1<⋯

3、∈I-J.′比较上面两个等式可见(i)为真,(ii)、(iii)的证明相类似.我们称EJ,EJ为矩阵的剔除算子,简称剔除算子.定理1剔除算子具有下列性质:′′(1)E=EJEJ+EI-JEI-J;′′(2)EJEJ=E(p-m)(p-m阶单位阵),EI-JEI-J=E(m)(m阶单位阵);′(3)EI-JEJ=0.′′′′证　(1)因为EI-J=(ej,⋯,ej),所以有EI-JEI-J=eiei,类似有EJEJ=eiei.由此1m∑∑i∈Ji∈I-J可得′′′E=EE′=∑eiei=∑eiei+∑eieii∈I

4、i∈I-Ji∈J′′=EJEJ+EI-JEI-J.′′′′(2)EJEJ=(eiej),i,j∈I-J,即EJEJ=E(p-m),类似有EI-JEI-J=E(m).′(3)因为(I-J)∩J=Á(空集),所以有EI-JEJ=(eiej)=0,(i∈I-J,j∈J).2　任意分块求逆矩阵-1　　设L为p阶方阵,C=L,给定I=(1,⋯,p),J=(j1,⋯,jm).L可分成四块.收稿日期:1998210214第1期谭道盛等:矩阵的任意分块求逆及其应用35′′′′EJLEJ,EJLEI-J,EI-JLEJ,EI-JL

5、EI-J,相应的C也分成四块′′′′EJCEJ,EJCEI-J,EI-JCEJ,EI-JCEI-J.-1定理2如果(EJLEJ)存在,则有′′-1′-1′′′′-1(1)EJCEJ=(EJLEJ)+(EJLEJ)(EJLEI-J)(EI-JCEI-J)(EI-JLEJ)(EJLEJ);′′-1′′(2)EJCEI-J=-(EJLEJ)(EJLEI-J)(EI-JCEI-J);′′′′-1(3)EI-JCEJ=-(EI-JCEI-J)(EI-JLEJ)(EJLEJ);′′′-1′-1(4)EI-JCEI-J=[(E

6、I-JLEI-J)-(EI-JLEJ)(EJLEJ)(EJLEI-J)].证　先证(3),利用定理1及LEC=CEL=E,我们有′′′′′0=EI-JEJ=EI-JCELEJ=EI-JC(EJEJ+EI-JEI-J)LEJ,′′′′即(EI-JCEJ)(EJLEJ)+(EI-JCEI-J)(EI-JLEJ)=0.′-1以(EJLEJ)右乘上式两端后移项即得′′′-1EI-JCEJ=-(EI-JCEI-J)(E′I-JLEJ)(EJLEJ).(2)的证法与(3)类似,下面证(1),由定理1我们有′′′′′E(p-m

7、)=EJEJ=EJLECEJ=EJL(EJEJ+EI-JEI-J)CEJ,′′′′′-1即(EJLEJ)(EJCEJ)=E(p-m)-(EJLEI-J)(EI-JCEJ).以(EJLEJ)左乘上式两端并利用(3)得到′′-1′-1′′EJCEJ=(EJLEJ)-(EJLEJ)(EJLEI-J)(EI-JCEJ)′-1′-1′′′-1=(EJLEJ)+(EJLEJ)(EJLEI-J)(EI-JCEI-J)(EI-JLEJ)(EJLEJ).最后证(4),由定理1及(3)可得′′′′′E(m)=EI-JEI-J=EI-

8、JCELEI-J=EI-JC(EI-JEI-J+EJEJ)LEI-J′′′′′-1′=(EI-JCEI-J)(EI-JLEI-J)-(EI-JCEI-J)(EI-JLEJ)(EJLEJ)(EJLEI-J)′′′′-1′=(EI-JCEI-J)[(EI-JLEI-J)-(EI-JLEJ)(EJLEJ)(EJLEI-J)].由上式可见,等式右端的两个乘积矩阵的行列式不为0,因