矩阵的分块初等变换与分块初等阵及其应用

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1、第41卷第1g期数学的实践与认识Vol41,No.192011年10月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYOet.,2011矩阵的分块初等变换与分块初等阵及其应用张新育,周世国(郑州大学数学系,河南郑州450052)摘要:讨论了矩阵分块初等变换和分块初等阵的定义和性质,利用这一工具研究了行列式的分块运算,分块矩阵的求逆和对称阵的分块合同变换等问题.关健词:分块初等变换;分块初等阵;性质;应用1引言线性代数的矩阵运算与变换在大批量数据的研究和计算中起到重要的作用.矩阵的初等变换和初等矩阵是最基础的变换和计算工具之一矩阵的很多问题均用到这一方法进行研究和解决.本文

2、将探讨对分块矩阵进行研究和计算的相应工具,即矩阵分块初等变换和分块初等阵.先研究定义和有关性质,最后给出若干应用.从这些应用可以看出,矩阵的分块初等变换和分块初等阵对解决部分线性代数问题和部分多元统计分析问题是非常简捷有效的.2分块初等变换和分块初等阵的概念和性质定义2.1将
x
阵A分块如下AiiAiZ
1乃山-r份rm=rJ碑曰8.5乙
一e.eJl.AZiA22A一(l)A,ir卜*2
l一几l吕一
,一其中A
,为二

玛矩阵声=1,
,r;j二1,
,5.艺二
nj一几落=1l)将第
个块行(列)左(右)乘某一可逆阵万爪

(Jn
),称为一次第一类分块行(列)初等变

3、换.2)将第
个块行(列)与第j个块行(列)交换,称为一次第二类分块行(列)初等变换.3)将第
个块行(列)左(右)乘某一矩阵氏,
(氏
,)加到第j个块行(列)上,称为一次第三类分块行(列)初等变换.定义2.2将单位矩阵凡进行一次第葱类分块初等变换所得到的方阵称为一个第
类分块初等阵,
二1,2,3.具体表达与记号如下收稿日怨城
,吟13资助项目:国家自然科学墓金项目资助(l0971201)246数学的实践与认识41卷l)将凡的第乞:至第葱:行(列)(
1三几)所成块行(列)左(右)乘
:一
1+1阶可逆阵K得
尽1一,1凡((乞l,乞2))=L马一
2
2)交换凡的第
l至第

4、乞:行(艺1三句所成行块与第JI至第J:行((坛:

5、乞
到乞:列所成块列上,当i:三葱2

6、明由性质1知分块初等阵的行列式均不为0,所以均为可逆阵,因而均为有限个初等阵之积.性质3芍
(K(乞l,乞2))一凡(K一
(
l,葱2))
1
葱2芍
((
l,乞2),(jl,JZ))=凡((葱1,
1+(jZ一jl)),(
l+(jZ一乞2),JZ))(坛1三
:

7、fn
(艺购+1,E
力)A相当于对A的第乞个块行左乘万m
x,
;j=IJ=lA凡(Kn
一
(艺j=ln,+
,艺j=1n,))相当于对Aox
的第葱个块列右乘凡

.2)凡_又/L,拱乙m
+1,人乙mk)
,戈,拱乙m
+11八乙mk)
)
A(