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1、分块矩阵的初等变换及应用钱拓宽（绍兴文理学院数学系，浙江绍兴312000）摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法.在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上，使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵，从而在处理分块矩阵时起到事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结性的工作.关键词：分块矩阵；初等变换；应用1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指:（1）交换两行(列)的位置;（2）第ｉ行(列)的各个元素分别
2、左乘(右乘)该行(列)的一个阶左(右)保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行.定义2对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指:（1）=或=（2）=或=其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子；9(1)=(2)或=初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1 (1)交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i)阶单位矩阵,为ｈ(j)阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i)阶单位矩阵,为ｌ
3、(j)阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ)阶单位矩阵；(2)的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵;的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵；(3)的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘.定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为,其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-
4、l)],l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],施行第二种初等变换后,对应的行列式为
5、Ｈ
6、·
7、Ａ
8、;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明:,显然成立.下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行9ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1
9、)]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ),故;同理.所以有==(-1)或==（-1）==或=====定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明:对于(1),相当于对进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.定理4 (1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当(Ａ)=(Ａ,Ｂ)=ｍ时有唯一解,当(Ａ)=(Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解,当(Ａ)<(Ａ,Ｂ)时无解;(2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当(Ａ)==ｎ时有唯一解,当(Ａ)=<ｎ有无穷多解,当(Ａ
10、)<时无解.证明:(1)设(Ａ)=(Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，其中为ｒ阶单位矩阵,为ｒ阶方阵,设,则有:===B所以为ＡＸ=Ｂ的解,其中,是任意的.当(Ａ)=(Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ( Ｏ)Ｑ,Ｂ=( ),显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解:;当(Ａ)<(Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2)成立(当(Ａ)=(,)<ｎ时,X=P)定义3对于任意的ｕ,ｖ,如果()=(,)=(,),则称为极大元.定理5 分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:它有一个极大元.证明:充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在
11、可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，,9令Ｋ=-Ｐ,其中,为适当阶数的任意矩阵.则K+=，所以第一行左乘Ｋ加到第二行,得.同理,令Ｋ＇=-,则Ｋ′+=0,所以的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得.(如先进行列变换,再进行行变换,得,因为=+=+,故两种运算顺序结果相同)必要性.反证法,不妨设()≠(,)或(,)(),则由定理4,=-或=-无解,从而不存在Ｋ,使对角化.同理,当()≠(,)或(,)≠()时,不存在使-AK=A或-=成立.定理5表明:并不是
