资源描述：
《用分块矩阵证明矩阵秩的若干定理.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、··景德镇高专学报1995年第4期自然科学版用分块矩阵证明矩阵秩的若干定理钱柯:,摘要本文运用分块矩阵证明矩阵扶的若干定理使矩阵扶的命题证明过程简、一、。洁致易于掌握,;关于矩阵秩的命题的证明有的用向量组的极大无关组有的用齐次线性方程组的基础,。,:解系有的用矩阵的初等变换等等这里用分块矩阵法其思路是将矩阵秩的有关条件转,由分块矩阵秩的有关性质得出有关的结,换成分块矩阵秩的有关条件论再将结论转化为矩阵秩的结论,从而使命题。得证,,为了表述方便约定用R(助表示矩阵月的秩Es表示S阶单位方阵;三个基本命题作:为引理,,引理1两个矩阵乘积的秩不大于
2、每一因子的秩特别当有一个因子是可逆矩阵时乘积的秩等于另一个因子的秩。。、,,一、*、。,、。引理2(君昙),,引理3在一个分块矩阵中若把每个块看成一个元素则进行通常的初等变换仍不改变矩阵的秩。以上三个引理的证明在一般高等代数书上都可以找到。下面对矩阵秩的若干定理运用分块矩阵进行证明。、,,定理l设月B都是m又矩阵则R(A十B)镇R(A)十R(B):证明A+B、。‘B丫R(月十B)一R言g)(引理2)Og)(一一R(月)+RB)0心盆)心公)(引理3)’B{}凡A+BO}}、OB从琉BO/收稿:1995-es0701:日期一作者单位景德镇高专’
3、.’R(忍瑟)荆了急)(引理l)。…R(A十B)成R(A)+R(B)成立、,定理2设月Bm义:则都是矩阵R(A一B))R(月)一R(B):证明由R(A)=R[(A一刀)+刀]成R(A一刀)+几叨)(定理l)。:R(A一B))R(A)一R(刀)、、,,。,*,,定理3设月BC分别是义mm又义t矩阵则R“C‘人J刀OBCO=1八1刀乃尹州R(厂一:AB必司特别有瑟助E.,了、.‘胜口l、矛、J、声、,.r、CO、了1,.口OBCO1一Al证明一.(分及而是阵(含洲。一.’{管g)城盆g)(引理1),另设B一E就有。一成立戒盘g)城昙艺)、,,:,
4、,:定理4设AB分别是二义义矩阵则R(AI]))R(A)+R(B)一:·:证明:;(,)+:(。)、(引理2,(孟盆)、才、了,.日…:AB)。R尹又:(A。)+一(+(二)一O月刀l(E.E.月0oAB一R((定理3)刀亨r、了、又及O刀凡AOB一.(孟哟一凡而(含绷是可逆矩阵、月E.OB沙、功伙幼舒)vl.’R了‘、(引理l)(孟价一l。:R(A)+R毛R(AB)+:。.RAB几+几(刀)一::())成立、:,:。,,儿推论1设AB分别是。义义矩阵且AB~口则R(A)+R(I1)镇(定理4)2A:,E,RRA:推论设是阶方阵且矛~则(A+
5、E)+(一E)~,:一E…。证明由于矛(A+E)(A一E)一.‘.,R(A+E)+R(A一E)RA+E)(A一E)=R(O)+,镇[(j+”一(定理4),A,.:另一方面是可逆矩阵、R(A)一12.’.:=几(2滋)一况[(月+E)+(A一E)」成R(月+E)+R(A一E)(定理1):.R(月+E)+R(A一E)~,成立。:,,推论3设月为阶方阵且矛一A则R(月)+R(A一E)=”:,.证明由于矛~A,.A(A一E)二O.:R(A)+R(A一E)蕊R月(A一E+:一:(定理4)〔)],:一R(E.)一R另一方面(A十E.一劝成R(A)十R(从
6、一A)(定理1)=R(A)+R(A一E.).。:R(A)+双(A一E)~,成立、、,,,定理5设月Bc依次是:义,mx;,义t矩阵则R(A理))R(月刀)+R(膨)一R(B):证明.::。。:。朋。十、)、(管层)(引理2)乎,厅,、,r,、尹矛、了、O月B,招召zAlr又,..R(A膨)+R(B)~RO月2汇了(定理3)O、月刀月刀口一又而阿油.(BO)(含习(管剧C是可逆矩阵一凡一.,l(节哟It(管剑(引理1):.R(朋)十R(那)成R(月那)+R(B)、’.刀z汇。伽,))R(AB)+斤(肥)一R(召)成立、、,,,。推论4设ABc都
7、是阶方阵若R(月)一R(朋)则君(淞)=R(及花甲):’.’通‘几R(几(月)证明R切))(朋)+淞)一(定理5)又丫R(川=R(朋).R:(召月C))儿(淞),又丫矩阵肠变7可以看成是矩阵B与矩阵AC的乘积有R娜月c)镇R(崖少)(引理1).’。R(召月口)~R(AC)成立、,,,。定理6设月B,又m,又。矩阵则R(AB)成刀(A)+R(的分别是:证明‘且..f口、了、zI、,J户.‘1’,、了lA0OB召O.’R(AB)簇刀(引理3)一R(月)+R(B)。R,。一(月B)毛R(A)+R(B)成立、,定理7设AB,阶方阵则R(A刀一从)镇R
8、(A一E.)+R(I]一从)都是:证明“A刀一凡丫R(AB一及)-g)(OR月刀一E.(B一凡g),另一方面“AO况A儿.一凡(一及)+(刀一E)-(O刀一E.RA
