关于矩阵秩命题的证明

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1、第35卷第2期数学的实践与认识Vol135No122005年2月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYFeb.,2005教学园地关于矩阵秩命题的证明叶彩儿,徐光辉(浙江林学院数学系,浙江临安311300)摘要:利用齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩和它的基础解系之间的关系,比较容易地证明许多有关矩阵秩或向量组秩的一些命题.关键词:矩阵的秩;向量组的秩;基础解系;分块矩阵1引言在学习线性代数时,很多同学对矩阵秩或向量组秩有关命题的证明感到比较困难,难以入手.在本文中,我们通过举例来说明如何利用齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩和它的基础解系之间的关系,比较容易地

2、证明矩阵秩或向量组秩的一些命题.从而说明这一关系在秩的命题证明中的重要性.2定理及推论设A为m×n矩阵,矩阵A的秩记为r(A).A1,A2,⋯,An是一个向量组,它的秩记为r(A1,A2,⋯,An).定理设A为m×n矩阵,r(A)=r

3、命题1证明矩阵A的秩等于矩阵A的列(或行)秩.证明首先证明矩阵A的秩等于矩阵A的列秩.设A为m×n矩阵,r(A)=r,收稿日期:2002210215©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net216数学的实践与认识35卷a11a12⋯a1na21a22⋯a2nA=⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn它的列向量为a11a12a1na21a22a2nA1=,A2=,⋯,An=•••am1am2amn其秩设为S.由于r(A)=r,故A中有一个r阶子式不为0,不

4、妨设a11a12⋯a1ra21a22⋯a2r≠0⋯⋯⋯⋯ar1ar2⋯arr由克拉默法则,知线性方程组a11x1+a12x2+⋯+a1rxr=0a21x1+a22x2+⋯+a2rxr=0⋯⋯⋯⋯⋯ar1x1+ar2x2+⋯+arrxr=0只有唯一零解.因此向量组a11a12a1ra21a22a2r,,⋯,•••ar1ar2arr线性无关,从而向量组a11a12a1ra21a22a2r,,⋯,•••am1am2amr也线性无关,即向量组A1,A2,⋯,Ar线性无关,得到S≥r.另一方面,根据推论1存在n×(n-r)矩阵B,且r(B)=n-r,有AB=0.由于r(B)=n-r,B为n×(n

5、-r)矩阵,不妨设B=B1,其中B1为n-r阶可逆方阵,B2为r×(n-r)矩阵.将矩阵A分块为A=(A1,A2),A1=B2B1(A1,A2,⋯,An-r),A2=(An-r+1,⋯,An).那么AB=(A1,A2)=A1B1+A2B2,有A1B1+B2©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2期叶彩儿,等:关于矩阵秩命题的证明217-1-1A2B2=0,解得A1=-A2B2B1,即(A1,A2,⋯An-r)=-(An-r+1,⋯,An)B

6、2B1,可知向量组A1,A2,⋯,An-r可由向量组An-r+1,⋯,An线性表出,因此向量组A1,A2,⋯,An可由向量组An-r+1,⋯,An线性表出,得到S≤r.因此S=r.即证矩阵A的秩等于矩阵A的列秩.由于矩阵A的秩等TT于矩阵A的秩,而矩阵A的列秩就是矩阵A的行秩,故矩阵A的秩等于矩阵A的行秩.命题2设A为m×s矩阵,B为s×n矩阵,证明r(A)+r(B)-s≤r(AB)≤min[r(A),r(B)]证明先证r(AB)≤min[r(A),r(B)].由BX=0,可得ABX=0,根据推论3得r(AB)TTTTTT≤r(B).而r(AB)=r[(AB)]=r(BA),根据r(A

7、B)≤r(B),可得r(BA)≤r(A)=r(A),所以r(AB)≤r(A).因此r(AB)≤min[r(A),r(B)].下面证明r(A)+r(B)-s≤r(AB).根据定理,设BX=0的基础解系为A1,A2,⋯,At,t=n-r(B),由BX=0,可得ABX=0,故将A1,A2,⋯,At扩充为它的基础解系,设为A1,A2,⋯,At,B1,B2,⋯,Bk,t+k=n-r(AB).显然ABBi=0,(i=1,2,⋯,k),即BBi为AX=0的解