“1”在解题中的妙用

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1、“１”在解题中的妙用江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300“1”是一个最基本的数，但它在解决有关数学问题时，却扮演着一个非常重要的角色．解题时，恰到好处地运用之，常能收到意想不到的效果．今从以下几个方面来解析：　　一、加1　　例1把，，，四个数按从小到大的顺序排列的是（）．　　(A)(B)　　(C)(D)　　解析：将四个数都加1，它们的大小关系不变．　　将，，，四个数都加1，得　　，，，．　　∵，　　∴．故选（B）．例2解方程：x2－2x=790320．解析：方程中常数项绝对值较大，若用因式分解法和公式法都不方便，可考虑配方法．方程两边都加1，得x2－2x＋1＝790320＋1，配方，得(

2、x－1)2＝8892．∴x1＝－888，x2＝890．例3已知、、均为非零实数，且a2＋b2＋c2＝1①，②．求a＋b＋c的值．第8页共8页解析：将②式左边的每一大项分别加1，然后进行处理．将②式变形为，即，∴．∴，或．由，得ab＋bc＋ca＝0③又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)，将①式和③式代入，得(a＋b＋c)2＝1＋2×0＝1∴a＋b＋c＝±1．综上所述，a＋b＋c的值为―1，0或1．　　二、减1例4解方程．解析：将方程右边的每一大项分别减去1，然后进行处理．原方程变形为，即，也即．∴当时，，即；当，方程有无数个解．　　例5求方程xy－x＋y＝3的整数解．

3、解析：将方程两边都减去1，然后进行处理．方程两边都减去1，得xy－x＋y－1＝3－1，即(x＋1)(y－1)＝2．　　∵x、y是整数第8页共8页　　∴，或，或，或　　解得，，，．　　三、乘1　　例6化简：（n为正整数）．分析：利用1＝2－1，在原式前面乘以(2－1)后，再运用乘法分配律．解：原式．例7数N＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·……·(2128＋1)＋1的个位数是（）．　　(A)2(B)4(C)6(B)8　　解析：利用1＝2－1，在原式前面乘以(2－1)后，再反复运用平方差公式．　　N＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·……·(2128＋1)＋1

4、　　＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·……·(2128＋1)＋1　　＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·……·(2128＋1)＋1　　＝(24－1)(24＋1)(28＋1)·……·(2128＋1)＋1　　＝……　　＝(2128－1)·(2128＋1)＋1　　＝2256＝1664．　　因为1664的个位数是6，故选（C）．　　例8化简（其中a≠1，n为正整数）．　　解析：利用，在原式前面乘以后，再反复运用平方差公式，本题是例6的一般化．　　原式＝第8页共8页　　＝　　＝　　＝　　＝．　　四、利用1的恒等代换　　例9化简：．　　解析：利用1＝进行代换．

5、　　原式＝　　＝　　＝　　＝．　　例10若n满足(2009－n)2＋(n－2008)2＝1，则(2009－n)(n－2008)＝______．　　解析：利用1＝(2009－n)＋(n－2008)进行代换．　　两边平方，得　　(2009－n)2＋(n－2008)2＋2(2009－n)(n－2008)＝1　　由已知条件(2009－n)2＋(n－2008)2＝1，得　　2(2009－n)(n－2008)＝0第8页共8页　　即(2009－n)(n－2008)＝0．　　例11已知0°<α<45°，化简．　　解析：利用进行代换．　　原式＝　　＝　　＝　　＝（∵0°<α<45°，∴）　　＝．　　五、利用

6、1的条件代换　　例12已知，解方程．　　解析：利用1＝abc进行代换．原方程即，将代入方程，得，即．∴．　　例13已知a、b、c、d均为实数，且ad―bc＝1①，a2＋b2＋c2＋d2―ab＋cd＝1②，求abcd的值．　　解析：利用1＝ad―bc进行代换．　　将1＝ad―bc代入②式，得　　a2＋b2＋c2＋d2―ab＋cd＝ad―bc　　即a2＋b2＋c2＋d2―ab＋cd―ad＋bc＝0　　两边乘以2，配方得　　(a―b)2＋(c＋d)2＋(d―a)2＋(b＋c)2＝0　　根据非负数的性质，得　　a―b＝0，c＋d＝0，d―a＝0，b＋c＝0第8页共8页　　∴a＝b＝d＝―c．　　代

7、入①式，得a2＝∴abcd＝―a4＝．　　例14已知a、b均为正数，且a＋b＝1，求的最小值．　　解析：利用进行代换．　　设a＝，b＝，则　　＝．　　当x＝0时，上式的分母取得最大值，同时（实属罕见）分子取得最小值，∴的最小值为．七、利用一元二次方程的特殊根1对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若方程有一个根为1，则a＋b＋c＝0；反之，若a＋b＋c＝0，则方程必有一个根为1，而另一根为．　　例15已知a、b