双曲型守恒律组高阶Godunov格式.doc

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1、双曲型守恒律组的高阶Godunov格式丁岩1.Godunov格式简述模型方程为下述双曲型守恒律组：(1.1)其中，。假设所采用的是均匀网格，是网格宽度。给定时刻的单元均值分布，构造分片常数分布函数：，当在每个cell边界处，（近似）求解如下初始条件的Riemann问题：，(1.2)对充分小的时间步长（满足条件），记，可得到具有相似特性的近似解，，从而有整个计算区域内的近似解：，，将它代入(1.1)式，并在，上积分有：注意到是Riemann问题(1.2)沿射线，的解，因而是一常数，于是得到如下Godunov格式：，其中（1.3）在Fig.1

2、中给出了利用Riemann问题的解计算Godunov通量时需要考虑的十种情形之一。Uj+1/2(0)S3S1Uj,nUj+1,nXj+1/2xtFig.12．二阶Godunov格式（MUSCL）MUSCL通过以下步骤计算数值通量，以实现Godunov格式的二阶推广。STEP（1）：DataReconstrunction.不同于Godunov格式采用分片常数插值，这里在每个cell中，由时刻的均值构造分片线性函数，即，(2.1)是适当选择的在上的斜率(slope)矢量（差分形式），在的两个端点处的值为：，(2.2)称之为boundaryex

3、trapolatedvalues.注意到对于Euler方程(1.1)，和是具有三个分量的矢量，因而(2.2)中实际有六个boundaryextrapolatedvalues.STEP（2）：Evolution.在每个cell中，将由(2.2)给出的boundaryextrapolatedvalues按如下格式在时间上推进：在每个cell边界点处现在存在有两个通量和，而且他们一般来说是不同的，但这一步只是中间步骤，因而不会影响整个格式的守恒特性。STEP（3）：TheRiemannProblem为计算cell间的通量，可以通过求解如下初始条

4、件的Riemann问题：，来得到相似性解，则数值通量可以按照Godunov格式中完全相同的方式(1.3)来得到，即(2.3)(2.4)注：关于斜率的选择在(2.1)和(2.2)中，可以简单的取作其中，且(2.5)当时，上述格式正是二阶的Fromm方法。根据Godunov定理，在大梯度变化区域，上述格式将产生数值振荡。所以(2.5)中的取法不能保证格式的TVD性质。可以采用如下的替代上面的其中的是一斜率限制子(slopelimiter)，采用如此的格式(2.4)对于满足以下条件的是TVD的：，；，其中基于此，可以构造以下满足上述条件是斜率限

5、制子：Superbeeslopelimiter:VanLeer-typeslopelimiter:Minbee-typeslopelimiter:r11/21ξ(r)ξLξRFig.2各种限制子与TVD区域间的关系（red:Superbee,blue:Vanleer,mauve:Minbee）3．三阶Godunov格式（PPM）PPM方法(piecewiseparabolicmethod)是Cella和Woodward(1984)所研究的一种三阶Godunov格式。它的主要特点是采用二次多项式函数作为网格内部的基本插值函数，来代替Godu

6、nov所采用的常数函数和Vanleer所采用的线性函数。先讨论单个线性方程情况：，(3.1)网格的空间步长可以是不等距的。已知时刻的离散分布，如解在网格中的平均值。假设根据构造了分段抛物线函数：（3.2）,利用，Fig.3blue:interpolatedfunction;red:initialcellaverage;green:newaverageoverTheinterpolatedfunctionshiftedtotherightbyuΔt容易验证(3.2)式给出的二次多项式的两种表达式是等价的。要求所构造的函数满足：相当于成立以下

7、关系式：由此确定中的另外两个参数与的关系按以下方式确定：首先根据计算在处的近似值，因为的不定积分在网格边界处的值可以由下式得到：为计算，构造通过五个点，的四次插值多项式，并对其微分得到，求的公式可以用和表示如下：(3.3)这里的是所构造的二次插值函数在网格中的近似斜率，由下式给出：在实际的计算中，还须对作单调性处理，即采用以下代替：（3.4）这种修正不仅可以得到更加锐利的捕捉到解的间断，而且能够保证落在和的范围之内。上述计算的公式对非均匀的网格具有三阶精度，如果网格是均匀的，则：.由(3.3)和(3.4)得到后，即令：，在大多数情况下，由

8、上式得到的就是二次多项式表达式(3.2)中的两端值。但在以下两种情况，还需要对重新赋值进行调整：(1)当时，则在此网格中有局部极值。这时重新对赋值：使得在该网格中插值多项式。(2)当足够地接近