双曲守恒律方程组光滑解整体存在性和奇性的分析

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1、浙江大学研究生学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：魂I＼易绰签字日期：洲￥年<月3日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和

2、传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：张{弓身导师签仁，∞’—叮签字fill：矽I牛年‘月弓日签字日期：加心年<月宝日摘要本文主要针对一维和高维双曲守恒律方程组柯西问题光滑解的整体存在性和破裂现象进行了研究。第‘章主要介绍问题的研究背景、意义以及研究现状。在此基础上给出了本文所得到的主要结果。在第二章，我们主要研究由P．D．Lalx引入的一类复的守恒律。该复守恒律本质上是一类二维(含有两个空间变量)拟线性双曲系统。通过选择适当的流函数，该方程组是线性退化的，在这种情况下，得到了该系统小初值柯西问题光

3、滑解的整体存在性和生命跨度下界的估计。对一大类流函数，该系统在某个方向上是真正非线性的，在这种情况下，得到该系统小初值柯西问题光滑解一定在有限的时间内产生奇性，并且我们对解的生命跨度给出了一个精确的估计。在第三章，我们针对一维线性退化双曲系统(Chaplygingas方程)柯西问题解的奇性形成和传播进行了研究。根据初值的合理选择，我们得到了一类新的奇性(Delta-奇性)，包括“点奇性”、“线奇性”和“尖点奇性”。通过特征线方法，我们发现这类奇性与激波的形成有很大的不同，Delta-奇性的形成机制是不同族的特征线在奇点处相切(严格双曲性失去)。除此之外，我们对解在奇点附近的破

4、裂行为进行了分析。更进一步，根据解在奇点附近的破裂行为，在奇性产生后，我们构造了一类弱解(6波)，并且证明了它的存在唯一性。在第四章，我们主要研究数学物理中的一类重要的方程，de—Sitter时空类时极值曲面方程的柯西问题。利用广义能量方法，我们得到小初值条件下，光滑解生命跨度下界的估计。最后，在第五章，我们引入“完全线性退化”的概念，推广了经典“线性退化”的概念，并且在“完全线性退化”的条件下，我们得到一个有趣的现象：对于含两个未知量的对称双曲守恒律方程组，“完全线性退化”等价于“线性”。双曲守恒律方程组光滑解的整体存在性和奇性分析关键词：复守恒律，生命跨度，整体解，线性退

5、化，真正非线性，类时极值曲面，6波AbstractInthispaper，wemainlyfocusontheglobalexistenceandblowupofsmoothsolutionfortheCauchyproblemofhyperbolicsystemsinoneandseveralspacevariables．InChapter1，weintroducethebackgroundofourstudyandtheresultsobtainedbyothersinhyperbolicsystemsandthemainresultsofourresearchpaper

6、s．InChapter2，westudyaclassofcomplexconservationlaws，whichisintro-ducedbyP．D．LaxandessentiallyaclassofquasilinearhyperbolicsystemsintwospacediInensions．Forakindoffluxfunctions，thesystemislinearlydegen-crateinthesenseofP．D．Lax，inthiscase，weprovetheglobalexistenceandlowerboundofthelifespanofsm

7、oothsolutions．Forotherkindoffluxfunctions，thesystemisgenuinelynonlinearinsomedirectionsoncharacteristicfields，inthiscase，weprovethatthesmoothsolutionoftheCauch37problemmustblowupinfinitetimeandgiveasharpestimateonthelifespanofthesmoothsolution．Chapter3is