一阶拟线性双曲型方程组初边值问题经典解的奇性分析.pdf

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1、目录摘要ABSTRACT目录IIIIII1绪论11．1一阶拟线性双曲型方程组Cauchy问题经典解的研究现状．．．．．．．．．．．11．2一阶拟线性双曲型方程组初边值问题的研究现状及本文的主要结果．．．．．22一阶拟线性双曲型方程组的初边值问题的经典解的奇性分析32．1引言与主要结果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32．2波的分解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．62．3经典解的一致估计及沿着特征线的一致估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2、72．4奇性的形成和生命跨度的估计一定理2．1的证明．．．．．．．．．．．．．．．．193可对角化拟线性双曲型方程组的初边值问题的经典解的奇性分析”3．1引言与预备知识．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．273．2经典解的估计一一定理3．1的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．283．3奇性的形成一一定理3．2的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．30致谢Ⅲ37绪论绪论1。1一阶拟线性双曲型方程组Cauchy问题经典解的研究现状一阶拟线性双曲型方程组是

3、现代数学研究的一个重要研究领域，它不仅有很重要的物理背景而且有很大的实际应用价值．它在空气动力学、浅水理论、等离子体物理、燃烧理论、非线性弹性力学、声学、经典或相对论流体力学和石油储藏工程等学科分支中都有很重要的应用，因而对一阶拟线性双曲型方程组的研究是极为重要的．一阶拟线性双曲型方程组的一般形式为：警+砸)嚣邓(Ⅱ)，(1．1．1)其中乱=(钆l，⋯，乱n영"x计；2003年，孔德兴与杨彤【15】对于满足衰减性质的初值得到了当时间无穷大时，整体经典解趋于行波解的组合(肛>o)，而孔德兴【11】构造了一个反例(弘=o)，

4、得到了即使方程组是弱线性退化的，经典解也会在某有限时间破裂．2004年周忆和杨永福[43】证得了严格双曲型方程组具有弱线性退化特征，并且初值的BV模和L1模充分小，那么柯西问题整体经典解是存在的；2005年戴文荣和孔德兴【6】在此基础上研究了具有弱线性退化特征的一般严格双曲线型方程组的整体经典解的渐近形态．对于奇性的形成机制的研究，2002年孔德兴【1l】利用特征坐标方法和光滑映射的奇点理论，对一般的2×2阶拟线性双曲型方程组研究了奇性的形成和传播，并构造了2×2阶的激波；2005年戴文荣【3】在此基础上，利用新的特征坐

5、标方法和光滑映射的奇性理，研究了具有衰减初值的一般双曲型方程组Chuachy问题的解的形成机制．2012年戴文荣[4】在L1和By模意义下初值充分小时，研究了拟线性双曲性方程组柯西问题经典解奇形的形成机制，并给出了经典解生命跨度的尖点极限公式．1．2一阶拟线性双曲型方영"x一阶拟线性双曲型方程组的初边值问题的经典解的奇性分析一阶拟线性双曲型方程组的初边值问题的经典解的奇性分析2．1引言与主要结果考察下述一阶拟线性双曲型方程组筹+舭)筹_0(2．1．1)其中u=(钆1，．一，钆n)丁是(￡，z)的未知向量值函数，A(u)=

6、(n巧(札))是一佗×佗矩阵．在本章中，设(2．1．1)是严格双曲型方程组．不失一般性，我们假设A(钍)=(a巧(链))有礼个不同的实特征值爻1(O)，⋯，k(O)，满足Al(o)<⋯<入m(o)

7、)(分别地，A(钆)n(让)=九(弛)％(扎))我们有detIf巧(札)I≠o(等价地，detIr订(乱)l≠o)．不失一般性，我们假设，在所考察的区域上如(让)勺(u)三国J(z，J=1，⋯，n)和Jri’(乱)n(u)三1(t=1，⋯，n)其中瓯f表示I(ronecker符号．在区域D={(t，z)陋≥o，z≥o)里，我们考察方程组(2．1．1)具有下述初值和边界条件的初边值问题．初值为：￡=0：缸(0，z)=汐(E，z)，z≥0(2．1．4)其中妒(E，z)是z的一C1向量值函数，E为参数．及边界条件z=o："。=

8、厶(E，77(t)，可1，⋯，可m)+q。(t)(s=m+l，⋯，礼)(2．1．5)其中％=如(u)乱({=1，⋯，n)，厶为给定的关于￡的C1向量值函数，gs(￡)(s=m+1，⋯，礼)为给定的￡的C1函数，及77(￡)=(叩1(￡)，⋯，讯(z))，记q(￡)=(‰十1(￡)，⋯，‰(z))．对任意的向量值函数u