双曲型方程组.doc

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1、双曲型守恒律方程组1.拟线性双曲型守恒律方程初值问题拟线性双曲型守恒律方程组初值问题的一般形式为（1）其中，以及都是维向量，分别叫做守恒变量、通量和初值。在初值问题（1）中，要求守恒变量具有紧支集，即：集合的闭包为有界集。从而存在常数，使得：当时，；要求通量满足归零条件，即：当时，。例1：单个守恒律方程初值问题（2）例2：一维气体力学方程组初值问题（3）其中（对于完全气体，利用关系式，其中的是比热比）1.守恒性任取，，将方程（1）在区间上积分，得即但根据、的选取，有，所以有令，，就得到（4）此式对任意的都成立。这表明，是一个与时间无关的常数，或

2、者说，这个量是一个守恒量。对任意的，再将（4）时在区间上积分，得也就是从而有即1.非守恒形式定义通量的Jacobi矩阵则方程组（1）可写成即（5）称为方程组（1）的非守恒形式。例3：对于一维气体力学方程组（3），引入音速，则所以，于是上述Jacobi矩阵最终可写成1.双曲型方程组对于方程（5），以及相应的守恒形式（1），定义：若矩阵的所有特征值都是实数，并且矩阵是可对角化的，则称方程（5）是双曲型的。（注）关于“矩阵是可对角化的”，有以下几种等价的描述：矩阵是可对角化的：矩阵可以通过相似变换，变换成一个对角矩阵；存在可逆矩阵，使得是对角矩阵；矩

3、阵存在个线性无关的特征向量。事实上，以上述个线性无关的特征向量为列，就得到矩阵。例4：对于单个守恒律方程（2），矩阵成为标量，所以其特征值也是。1.不变性考虑因变量的变换，设则方程组（5）可写成定义因变量变换的Jacobi矩阵则上式就是如果矩阵可逆，就是记，就是经过因变量变换，双曲型方程中的矩阵变成了矩阵。上述推导表明，与相似。如果能够相似于对角矩阵，则也相似于对角矩阵。也就是说，双曲型方程组经过因变量变换还是双曲型方程。或者说，方程组的双曲性质在因变量变换下具有不变性。例5：对于一维气体力学方程组（3），如果用原变量表示，可写成或写成记，就是

4、对于一维气体力学方程组（3），如果将守恒变量换成原变量，例2中的Jacobi矩阵变成了这里的矩阵。根据双曲性方程组的不变性，这两个矩阵是相似的，从而有相同的特征值。显然，计算矩阵的特征值更容易些。事实上，由这样，我们很容易就求出了矩阵，同时也是矩阵的三个特征值，，1.特征线特征线是双曲型方程的重要性质，我们先通过一个线化的模型方程对此展开讨论。考虑对流方程初值问题考虑平面上由方程确定的一族平行直线（因为这里的为常数）。沿着这族直线中的任意一条，成为的函数，所以方程的解也是的函数。所以有也就是说，沿着这族曲线中的每一条，方程的解都是常数。这样的曲

5、线称为该方程的特征线。从而有以下结论：对于双曲型方程，沿着方程的特征线，方程的解为常数。如图，对平面（上半平面，）上的任何一个点，设过点的特征线与轴相交于点，根据上面的性质，就有。（附）对于对流方程初值问题，所以这样，利用特征线的性质，我们实际上已经得到了初值问题的解。对于标量守恒律方程记，可有非守恒形式此时，上面的所有推导依然成立。沿一条特征线，由于为常数，所以也是常数，因此特征线仍是直线。但对于不同的特征线，的变化导致特征线斜率的变化，所以此时的特征线不再是一族平行直线，这是非线性方程与线性方程之间的重要区别。行波稀疏波压缩波线性非线性此外

6、，虽然初值问题的解仍可写成但由于右端隐含了，上式并没有给出显式的解。1.Riemann不变量再考虑拟线性双曲型守恒律方程组。直接考虑非守恒形式根据方程组的双曲性，有。其中，矩阵是对角矩阵，其对角线元素就是矩阵的特征值（）；矩阵是可逆矩阵，其列向量就是对应的右特征向量，即；还可以证明，逆矩阵的行向量就是对应的左特征向量，即有。于是，用左乘方程组两端，可将方程组解耦，成为个独立的方程式（）此时，引入变量，满足。则上式成为（）于是，根据上一节的特征线理论，可定义（方程组的）第族特征线而沿着其中的每一条特征线，都有常数。因此将称为（方程组的）第个Rie

7、mann不变量。（注）由，取转置，得，所以矩阵的左特征向量实际上就是矩阵的右特征向量。在因变量变换下，考虑行向量，则而根据双曲型方程组的不变性，，有所以恰好就是矩阵的左特征向量。此时，这表明，Riemann不变量是双曲型方程组在因变量变换下的不变量。例6：对于一维气体力学方程组，，，所以设是矩阵的左特征向量，则，即。对特征值，由，有方程组，解得，取，则，所以，从而所以就是熵。对特征值，由，有方程组，解得，取，则，所以，从而对绝热等熵流动，有，所以从而最终得到，1.Riemann问题考虑一个截面积不变的无限长直管，在直管内的处有一金属膜片。在膜片

8、左侧（）的管道内充满了一种气体，其密度为，压力为；而在膜片右侧（）的管道内则充满了另一种气体，其密度为，压力为。设在时刻，金属膜片被突然打破，考虑直管