求解双曲型守恒律方程的一类自适应多分辨方法.pdf

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1、计算物理第31卷第2期Vo1．31，No．22014年3月CHINESEJOURNALOFCOMPUTAT10NALPHYSICSMar．．2014文章编号：1001．246X(2014)02-0155—10求解双曲型守恒律方程的一类自适应多分辨方法唐玲艳，宋松和(1．国防科技大学理学院数学与系统科学系，湖南长沙410073；2．空气动力学国家重点实验室，四川绵阳621000)摘要：针对双曲型守恒律方程问题，发展一种有效的自适应多分辨分析方法．通过对嵌套网格上的数值解构造离散多分辨分析，建立小波系数与多层嵌套网格点之间的对应关系．对于小波系数较大的网格点采用高精度WENO格式计

2、算，其余区域则直接采用多项式插值．数值试验表明，该方法在保持原规则网格方法的精度和分辨率的同时，显著地减少计算的CPU时间．关键词：离散多分辨分析；自适应；双曲型守恒律；WENO方法中图分类号：O241文献标志码：A0引言很多力学问题的求解都涉及到双曲型守恒律方程，如气体动力学、流体动力学、燃烧和浅水流等．这些物理现象对应的物理问题往往出现解的性质相对恶劣的情况，方程在求解区域的局部变化相当剧烈，解发展为奇异或接近奇异，像激波、边界层、爆轰波和涡流等．从数值求解的精确性上讲，为保证解的质量，必须采用非常精细的网格和非线性解算器．但是，由于双曲型方程的解在计算区域内是分片光滑的，

3、这样做往往会导致计算网格和计算开销的浪费．特别地，当问题的规模比较大时，这种损失是惊人的，甚至可能导致计算过程无法继续下去．鉴于此，计算数学工作者们提出了一系列自适应算法，如移动网格方法⋯，自适应局部加密技术等等．这些算法的基本思想是，对不同的区域、不同的情况，应用不同的方法进行求解，自动地将计算资源集中在奇异和剧变区域．众所周知，小波具有分辨局部奇异性的特点，小波系数的大小能直接反映出函数的局部光滑程度．本文利用小波分析，将高分辨率WENO格式与基于多分辨分析的自适应技术结合起来，以提高双曲型守恒律方程，尤其是欧拉方程的计算效率．通过对嵌套网格上的数值解构造离散多分辨分析，该

4、方法建立小波系数与多层嵌套网格点之间的一一对应关系．自适应主要通过对小波系数的滤波处理来实现，忽略掉那些数值小于给定阈值的小波系数后就得到函数的稀疏小波表示和相应的自适应网格．对于选中的小波系数较大的自适应网格区域，采用WENO格式计算，对于小波系数较小的区域则直接采用多项式插值．与规则网格算法相比，只要阈值选取得当，该方法可以在基本不损失精度的情况下，显著地减少计算所需要的CPU时间．1离散多分辨分析与网格自适应以二维情况为例，考虑笛卡尔坐标系中的规则嵌套网格：GCG～C⋯CGCG。．G={(：，，1)l0≤i≤M，0≤≤M：，：=iAx，y；=jAy}，其中，Z表示分辨层数

5、(z=0，1，⋯，L)，Ax和Ay分别为一方向和y一方向的网格尺度，Ax‘=2Ax，Ay=2Ay卜．在上述嵌套网格中，G是尺度最大的网格层，并且相邻两层网格之间存在如下关系：{(，yl={(，)}．收稿日期：2012—12—25；修回日期：2013—09—29基金项目：国家自然科学基金(11001270，91130013和61171018)及空气动力学国家重点实验室开放课题资助项目作者简介：唐玲艳(1980一)，女，博士，副教授，研究方向：偏微分方程数值解及其应用，E-mail：tanglingyan@aliyun．corn156计算物理第31卷记u：，=u(：，)，则网格尺度

6、由小变大时，有ul叫=u．网格尺度由大变小时，除u精确给定外，其余网点上的函数值由下面的插值公式给出⋯：1-1u~：i+。，=，。(i，．；／L1)=∑卢(u：+。一．++，)，=1=∑JB(u1．，+一+“：，，+)，^=1五。，+。：=，，(i，．；)==∑卢∑』9，(l+。一，+。一=lm：1插值多项式的阶数r=2s，当r=2时，卢。=1／2；当r=4时，卢。：9／16，卢=一1／16．定义第层上的插值误差为小波系数1l—l—l—ld，，1U2i+I，2J一2i+1，2J，d：，，，2=U2一i，+1—一—U一2一i，2J+1，(L2z)11l一1一Z一1ⅡlJ，3[L2

7、i+12J+1一U21+l，，，2j+1·该系数的大小能反映数值解的局部光滑程度．文献[8]指出，在数值解光滑区域，d随网格的加密而逐渐减小；相反，在数值解间断区域，d始终保持一定量级，并不随网格的细化而减小．对逐层分解，得到二维点值型数据的离散多分辨分析UM=M=(d。，d，⋯，d，U)，vo=M～U．(3)很显然，反映了在不同频带内的特征，并且这种表示式(3)并不会增加额外的存储量．具体来说，采样数据每粗化一次，数据量变为原来的四分之一，除了粗化信息之外，三个多分辨系数分别填充到原数组的