双曲型守恒律的一个新的通量限制器

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1、ｄｏｉ：１０３９６９／ｊｉｓｓｎ１００１９２３５２０１４０１００５２０１４年第１期·ＰＥＡＲＬＲＩＶＥＲ人民珠江双曲型守恒律的一个新的通量限制器１２３朱嵩，万五一，毛根海（１．珠江水利科学研究院，广东广州５１０６１１；２．浙江大学水利与海洋工程学系，浙江杭州３１００２７；３．浙江大学玉泉校区水利实验室，浙江杭州３１００２７）摘要：对于双曲型守恒律，当间断或激波存在时，线性的二阶差分格式往往会导致非物理的振荡而一阶迎风格式耗散性则过大。为了抑制虚假振荡使得数值解锐利而逼真，离散格式往往需要引入非线性

2、的限制器。限制器的性能对计算结果仍有着较大的影响，构造了一个新的限制器Ｍ７，它是一种耗散型限制器，在满足Ｃ．Ｆ．Ｌ．条件时具有ＴＶＤ的性质。数值计算结果表明，该限制器能够有效抑制虚假的振荡，减轻数值群速度效应，同时该限制器和一些传统限制器相比提高了显格式计算的稳定性条件。关键词：通量限制器；双曲型守恒律；Ｃ．Ｆ．Ｌ．条件；ＴＶＤ；有限体积法中图分类号：ＴＶ１３１．６５文献标识码：Ａ文章编号：１００１９２３５（２０１４）０１００１９０５０引言限制器在一定的条件下，能够取得较优的计算结果。双曲型偏微分方程系统

3、可以用来描述波的运动或物质１数学模型的对流输运等一大类现象，各向同性双曲型方程称为守恒１１模型方程［１］律。虽然形式简单，但完全可以用它来检验数值方法的效一维双曲型守恒律方程可以表示如下：果和功能，因而在发展离散方法、数值格式方面具有广泛的Ｕｔ＋Ｆ（Ｕ）ｘ＝０（１）应用。可压缩流体动力学的Ｅｕｌｅｒ方程和无粘Ｂｕｒｇｅｒｓ方程式中Ｕ———守恒变量；Ｆ———相应的通量函数。都是它的特殊形式，其他类型的方程如描述浅水运动的Ｓａｉｎｔ假设网格均匀，定义单元ｉ为（ｘｉ－１／２，ｘｉ＋１／２），则在单元ｉ［２］－Ｖｅｎ

4、ａｎｔ方程也是该方程的派生形式。上对方程进行积分可得：现代计算流体力学为了满足计算精度的要求，往往需要ｎ＋１ｎΔｔＵｉ＝Ｕｉ－（Ｆｉ＋１／２－Ｆｉ－１／２）（２）其离散格式具有二阶或二阶以上的计算精度。但一般线性Δｘ的二阶精度的离散格式在间断附近产生非物理的振荡，理论式中Δｔ、Δｘ———为时间步长和空间步长；Ｆ———变量ｉ±１／２［３］已经证明线性二阶上风格式在激波附近总会产生振荡。在界面ｉ±１／２处的通量。为了精确捕捉激波和接触间断，众多的学者在这方面做出了界面处不同通量的构造方式就形成了不同的离散格式。大量

5、的工作。Ｇｏｄｕｎｏｖ首先引入了单调性概念，分析了为保（２）式也可以写成如下的离散格式：证单调性格式所必须满足的条件。ＶａｎＬｅｅｒ提出了通过变Ｕｎ＋１＝Ｕｎ－Ｃ（Ｕｎ－Ｕｎ）＋Ｄ（Ｕｎ－Ｕｎ）（３）ｉｉｉ－１／２ｉｉ－１ｉ＋１／２ｉ＋１ｉ量插值得到的二阶上风格式的ＭＵＳＣＬ近似。Ｈａｒｔｅｎ在１９８３对式，（３）有如下定理：年第一次提出了“高分辨率（ｈｉｇｈｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ）方法”、ＴＶＤ（ＴｏＨａｒｔｅｎ引理格式是ＴＶＤ的一个充分条件是ｔａｌＶａｒｉａｔｉｏｎＤｉｍｉｎｉｓｈｉｎｇ）概念和运用限制函数

6、或限制器（ｌｉｍＣｉ－１／２≥０，Ｄｉ＋１／２≥０，０≤Ｃｉ－１／２＋Ｄｉ＋１／２≤１（４）［４］ｉｔｅｒ）的技术。此后，以Ｈａｒｔｅｎ为首的科学家又开始强调无由（４）式可以获得计算格式的ＴＶＤ区域。振荡（Ｎｏｎ－Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ）和本质无振荡ＥＮＯ（ＥｓｓｅｎｔｉａｌｌｙＮｏｎ－１２ＴＶＤ格式及通量限制器［５］Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ）。∞Ｕ在ＣＦＤ计算格式中，限制技术是影响计算精度和计算定义解的总变差ＴＶ＝∫ｄｘ，如果用（Ｕｉ＋１－－∞ｘ∞稳定性的重要因素。目前已有一些常用的限制器被广泛应Ｕ）／

7、Δｘ离散Ｕ，则：ＴＶ（Ｕｎ）＝ｎｎ。如果数ｉｘ∑Ｕｉ＋１－Ｕｉ用，如ＳＵＰＥＲＢＥＥ、ＶＡＮＬＥＥＲ和ＭＩＮＭＯＤ限制器等。虽然ｉ＝－∞ｎ＋１ｎ一些经典的限制器一般而言能较好地捕捉间断，然而它们的值方法可以使ＴＶ（Ｕ）≤ＴＶ（Ｕ），则称该方法是ＴＶＤ的。性能也有较大的差异，如耗散性、色散性和数值群速度效应ＴＶＤ格式使得解随着时间的推进不可能产生新的局部极值问题等。本文提出了一种新的限制器Ｍ７，数值计算表明，该点，且解的最小值随时间的推进不再减小，而局部最大值也基金项目：国家自然科学基金（５０７０９０２９）收

8、稿日期：２０１３１０３０作者简介：朱嵩，男，安徽颍上人，主要从事河流海岸工程数学模型研究工作。１９不再增加。域包括偏微分方程的依赖区域，至少当时间步长和空间步长［１］采用限制函数进行数值方法的数值耗散性和色散性效趋于零时。在双曲问题的现格式方法中，一般取ＣＦＬ数应调节和控制，是构造高分辨率格式，或无振荡格式的重要（或称为Ｃｏｕｒａｎｔ数）小于１且在１附近的值，这样沿特征线手段。对于