2012届高考数学压轴题跟踪训练4.doc

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1、2012届高考数学压轴题跟踪训练41．（本小题满分12分）过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设由得：………………………………3分直线PA的方程是：即①同理，直线PB的方程是：②由①②得：∴点P的轨迹方程是……………………………………6分（2）由（1）得：…………………………10分-6-所以故存在=1使得…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA、

2、PB与抛物线相切，且∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即…………………………3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是……………………………………6分（2）由（1）得：………………………………10分故存在=1使得…………………………………………12分2．（2012年沧州五校联考）（本小题满分14分）设函数在上是增函数.（1）求正实数的取值范围；（2）设，求证：-6-解：（1）对恒成立，对恒成立又为所求.…………………………4分（2）取，，一方面，由（1

3、）知在上是增函数，即……………………………………8分另一方面，设函数∴在上是增函数且在处连续，又∴当时，∴即综上所述，………………………………………………14分3．(本小题满分12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．(1)求双曲线的方程；(2)若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．-6-解：(1)设双曲线的方程为，

4、则．由，得，即．∴（3分）解之得，∴．∴双曲线的方程为．（5分）(2)设在轴上存在定点，使．设直线的方程为，．由，得．即①（6分）∵，，∴．即．②（8分）把①代入②，得③（9分）把代入并整理得其中且，即且．．（10分）代入③，得-6-，化简得．当时，上式恒成立．因此，在轴上存在定点，使．（12分）4．(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．(1)求；(2)试比较与的大小（）；(3)求证：，（）．解：(1)∵，①∴．②②－①，得，即．（3分）在①中令，可得．∴是首项

5、为，公比为的等比数列，．（4分）(2)由(1)可得．．∴，（5分）．-6-而，且，∴，．∴，（）．（8分）(3)由(2)知，，（）．∴当时，．∴，（10分）（当且仅当时取等号）．另一方面，当，时，．∵，∴．∴，（当且仅当时取等号）．（13分）∴．（当且仅当时取等号）．综上所述，，（）．（14分）-6-