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1、备战福建省高考数学——压轴题跟踪演练系列（四）1.已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥
2、x1－x2
3、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f＇(x)==，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①设(x)=x
4、2－ax－2，方法一：∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a
5、－1≤a≤1}.方法二：或0≤a≤1或－1≤a≤0－1≤a≤1.∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0∴A={a
6、－1≤a≤1}.（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0，∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，∴从而
7、x1－x2
8、==.∵
9、－1≤a≤1，∴
10、x1-x2
11、=≤3.K^S*5U.C#O要使不等式m2+tm+1≥
12、x1－x2
13、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：②g(－1)=m2－m－2≥0且g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥
14、x1－x2
15、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m
16、m≥2，或m≤－
17、2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；K^S*5U.C#O当m≠0时，②m>0且g(－1)=m2－m－2≥0或m<0且g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥
18、x1－x2
19、对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m
20、m≥2，或m≤－2}.2．如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值
21、范围.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=-∴直线l的方程为y－x12=－(x－x1)，方法一：联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M是PQ的中点∴x0==-，y0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴P
22、Q中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).K^S*5U.C#O方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，则x0==kl=-，∴x1=－，将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则.由y=x2及y=kx+b消去x，得y2－
23、2(k2+b)y+b2=0.③则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.方法一：∴
24、b
25、()≥2
26、b
27、=2
28、b
29、=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+）.方法二：∴=
30、b
31、=
32、b
33、.当b>0时，=b==+2>2；当b<0时，=－b=.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>－2b.所以>=2.∵当b>0时，可取一切正数，∴的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x
34、1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是b==－x1x2.22∴==+=+≥2.∵可取一切不等于1的正数，∴的取值范围是（2，+）.3.已知（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设（III）若都成立，求a的取值范围.解：（I）由（II）（III）K^S*5U.C#O（i）当n=1时结论成立（已验证）.（ii）假设当故只须证明K^S*5U.C#O即n=k+1时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整
