高考数学压轴题跟踪演练系列三

高考数学压轴题跟踪演练系列三

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1、江苏省备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列三-------------------------------------------------------------------------------------1.(本小题满分13分)如图,已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M,F是双曲线C的右焦点,O为坐标原点.(I)求证:;(II)若且双曲线C的离心率,求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下,直线过点A(0,1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满足,试判断的范围,并用代数方法给出证明.

2、解:(I)右准线,渐近线,……3分(II)双曲线C的方程为:……7分(III)由题意可得……8分证明:设,点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分,得的取值范围是(0,1)……13分2.(本小题满分13分)已知函数,数列满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求;(III)在集合,且中,是否存在正整数N,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.

3、解:(I)……1分……将这n个式子相加,得……3分(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,高为1……6分(III)设满足条件的正整数N存在,则又均满足条件它们构成首项为2010,公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N,则,解得中满足条件的正整数N存在,共有495个,……9分(IV)设,即则显然,其极限存在,并且……10分注:(c为非零常数),等都能使存在.19.(本小题满分14分)设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若A、B分别为上的点,且,求线段

4、AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线,使与双曲线交于P、Q两点,且.若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解:(I),渐近线方程为4分(II)设,AB的中点则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为的椭圆.(9分)(III)假设存在满足条件的直线设由(i)(ii)得∴k不存在,即不存在满足条件的直线.14分3.(本小题满分13分)已知数列的前n项和为,且对任意自然数都成立,其中m为常数,且.(I)求证数列是等比数列;(II)设数列的公比,数列满足:,试问当m为何值时,成立?解

5、:(I)由已知(2)由得:,即对任意都成立(II)当时,由题意知,13分4.(本小题满分12分)设椭圆的左焦点为,上顶点为,过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于,两点,且分向量所成的比为8∶5.(1)求椭圆的离心率;(2)若过三点的圆恰好与直线:相切,求椭圆方程.解:(1)设点其中.由分所成的比为8∶5,得,           2分∴.①,             4分而,∴..②,           5分由①②知.∴.                   6分(2)满足条件的圆心为,,              8分圆半径

6、.                  10分由圆与直线:相切得,,又.∴椭圆方程为.        12分5.(本小题满分14分)(理)给定正整数和正数,对于满足条件的所有无穷等差数列,试求的最大值,并求出取最大值时的首项和公差.(文)给定正整数和正数,对于满足条件的所有无穷等差数列,试求的最大值,并求出取最大值时的首项和公差.(理)解:设公差为,则.  3分                    4分.                     7分又.∴,当且仅当时,等号成立.                      11分∴

7、.            13分当数列首项,公差时,,∴的最大值为.                14分(文)解:设公差为,则.   3分,           6分又.∴.当且仅当时,等号成立.                 11分∴.             13分当数列首项,公差时,.∴的最大值为.                 14分6.(本小题满分12分)垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点,A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点,设直线A1M与A2N交于点P(x0,y0)(Ⅰ)证明:(Ⅱ)过P作斜率为的直线l

8、,原点到直线l的距离为d,求d的最小值.解(Ⅰ)证明:    ①直线A2N的方程为②……4分①×②,得(Ⅱ)……10分当……12分7.(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)若(Ⅱ)若(Ⅲ)若的大小关系(不必写出比较过程).解:(Ⅰ)(Ⅱ)设,……6分(

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