2010年高考数学压轴题跟踪演练系列三

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1、练系列三　　1．（本小题满分13分）　如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.　（I）求证：；　　　（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；　　（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.　解：（I）右准线，渐近线　　，　　……3分　　　（II）　　　　　双曲线C的方程为：……7分　　　（III）由题意可得……8分　　　证明：设，点　　　由得　与双曲线C右支交于不同的两点P、Q　　　　……11分　，得　　　　　　

2、的取值范围是（0，1）……13分　　2．（本小题满分13分）　　已知函数，　数列满足　（I）求数列的通项公式；　（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；　　　（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.　（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.　　　解：（I）　　　　　　……1分　　　　　　……　　　将这n个式子相加，得　　　　　　　　　……3分　　（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长

3、分别为，高为1　　　　……6分　　（III）设满足条件的正整数N存在，则　　又　均满足条件　　它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.　设共有m个满足条件的正整数N，则，解得　　中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分　　　（IV）设，即　则　　　显然，其极限存在，并且……10分　注：（c为非零常数），等都能使存在.　　19.（本小题满分14分）　设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.　　　（I）求此双曲线的渐近线的方程；　　（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；　　　（III）过点能否作出直线，使与双曲

4、线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.　　　解：（I）　　　　　，渐近线方程为4分　（II）设，AB的中点　　　　　　则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）　　　（III）假设存在满足条件的直线　设　　　　　由（i）（ii）得　　∴k不存在，即不存在满足条件的直线.14分　3.（本小题满分13分）　已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.　（I）求证数列是等比数列；　（II）设数列的公比，数列满足：　　　，试问当m为何值时，　　　成立？　解：（I）由已知　（2）　　　由得：，即对任

5、意都成立　　　　　　（II）当时，　　　　　　　　　　由题意知，13分　4．（本小题满分12分）　　设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．　（1）求椭圆的离心率；　（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．　　解：（1）设点其中．　　　由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分　　　∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分　而，　　　∴．．②，　　　　　　　　　　　5分　由①②知．　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分　　（2）满足条件的圆心为，　　，　　　　　　　　　　　　　　

6、8分　　　圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分　　由圆与直线：相切得，，　又．∴椭圆方程为．　　　　　　　　12分　　5．（本小题满分14分）　（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．　　　（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．　（理）解：设公差为，则．　　3分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分　又．　∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7、　　　　11分　∴．　　　　　　　　　　　　13分　当数列首项，公差时，，　∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分　　（文）解：设公差为，则．　　　3分　　　　，　　　　　　　　　　　6分　　　又．　　　∴．　　　当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分　　∴．　　　　　　　　　　　　　13分　　当数列首项，公差时，．　　　∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分　　　6．（本小题满分12分）　　垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y

8、0）　（Ⅰ