2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积应用案巩固提升新人教A版.docx

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1、6.2.4向量的数量积[A　基础达标]1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为(　　)A．30°　　　　　　　　　　B．60°C．120°D．150°解析：选D.如图，与的夹角为∠ABC＝150°.2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　)A.B.C．3D．5解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且

2、a

3、＝2，

4、b

5、＝1，则向量a与b的夹角为(　　)A.B.C

6、.D.解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.4．若向量a与b的夹角为60°，

7、b

8、＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则

9、a

10、＝(　　)A．2B．4C．6D．12解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝

11、a

12、2－

13、a

14、·

15、b

16、cos60°－6

17、b

18、2＝

19、a

20、2－2

21、a

22、－96＝－72.所以

23、a

24、2－2

25、a

26、－24＝0.解得

27、a

28、＝6或

29、a

30、＝－4(舍去)．故选C.

31、5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于(　　)A．－B．C．－D．解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos150°＝－.6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且

32、a

33、＝

34、b

35、＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3

36、a

37、2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°＝－3＋3×＝－

38、.答案：－7．已知向量a与b的夹角是，且

39、a

40、＝1，

41、b

42、＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．解析：根据题意得a·b＝

43、a

44、·

45、b

46、cos＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－.答案：－8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．解析：因为·＝

47、

48、

49、

50、cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．答案：等边三角形9．已知非

51、零向量a，b，满足

52、a

53、＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.(1)求向量a，b的夹角；(2)求

54、a－b

55、.解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以a2－b2＝，即

56、a

57、2－

58、b

59、2＝，又

60、a

61、＝1，所以

62、b

63、＝.设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝，所以

64、a

65、·

66、b

67、cosθ＝，所以cosθ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.(2)因为

68、a－b

69、2＝(a－b)2＝

70、a

71、2－2a·b＋

72、b

73、2＝，所以

74、a－b

75、＝.10．已知

76、a

77、＝2

78、b

79、＝2，e是与b方

80、向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解：(1)由题意知

81、a

82、＝2，

83、b

84、＝1.又a在b方向上的投影向量为

85、a

86、cosθe＝－e，所以cosθ＝－，所以θ＝.(2)易知a·b＝

87、a

88、·

89、b

90、cosθ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3

91、＝7λ－4＝0，所以λ＝.[B　能力提升]11．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：选D.因为2＝·＋·＋·，所以2－·＝·＋·，所以·(－)＝·(－)，所以·＝2，所以·(＋)＝0，所以·＝0，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．12．若

92、a＋b

93、＝

94、a－b

95、＝2

96、a

97、，则向量a－b与b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析：选D.由

98、a＋b

99、＝

100、a－b

101、可得a·b＝0，由

102、a－b

103、＝2

104、a

105、可得3a2＝b2，所以

106、b

107、

108、＝

109、a

110、，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝________．解析：由＝2，所以＝，＝－，故·＝(＋)·＝·(－)＝·(－)＝·＋2－2＝

111、

112、

113、

114、cos120°＋

115、

116、2－

117、

118、2＝×2×1×＋×1－×22＝－.答案：－14．设向量e1，e2满足

119、e1

120、＝2，

121、e2

122、＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te