2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积学案新人教A版.docx

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1、6．2.4　向量的数量积考点学习目标核心素养向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a在b上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P17－P22的内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平

2、面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；③当θ＝π时，向量a与b反向．■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量

3、a

4、

5、b

6、cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0．■名师点拨(1)

11、两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．3．投影向量如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．(2)若与b方向相同的单位向量为e，

12、a与b的夹角为θ，则＝

13、a

14、cosθe.■名师点拨当θ＝0时，＝

15、a

16、e；当θ＝时，＝0；当θ∈时，与b方向相同；当θ∈时，与b方向相反；当θ＝π时，＝－

17、a

18、e.4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝

19、a

20、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝

21、a

22、

23、b

24、；当a与b反向时，a·b＝－

25、a

26、

27、b

28、．特别地，a·a＝

29、a

30、2或

31、a

32、＝.(4)

33、a·b

34、≤

35、a

36、

37、b

38、.■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们

39、的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b

40、2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)(3)a，b共线⇔a·b＝

41、a

42、

43、b

44、.(　　)(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　)(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√若

45、m

46、＝4，

47、n

48、＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(　　)A．12　　　　　　　　　B．12C．－12D．－12解析：选B.m·n＝

49、m

50、·

51、n

52、cos45°＝4×6×＝12.已知

53、a

54、＝

55、10，

56、b

57、＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为(　　)A．60°B．120°C．135°D．150°解析：选B.设a与b的夹角为θ.因为(3a)·＝－36，所以3×a·b＝－36，又

58、a

59、＝10，

60、b

61、＝12，所以3××10×12cosθ＝－36，所以cosθ＝－.又因为θ∈，所以θ＝120°.4．已知

62、a

63、＝，

64、b

65、＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．解析：因为a－b与a＋2b互相垂直，所以(a－b)·(a＋2b)＝0，即a2＋a·b－2b2＝0.又因为

66、a

67、＝，

68、b

69、＝1，所以a·b＝2b2－a2＝2×12－()2＝0

70、，即a·b＝0.答案：0平面向量的数量积运算　(1)已知

71、a

72、＝6