高中数学 平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义检测新人教a版

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1、第二章　2.4　2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义A级　基础巩固一、选择题1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是(　A　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形[解析]　由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．2．若

2、a

3、＝4，

4、b

5、＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　C　)A．2B．C．2D．4[解析]　a在b方向上的投影为

6、a

7、cosa，b＝4×cos30°＝2，故选C．3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　B　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，

8、则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[解析]　A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则

9、a

10、＝

11、b

12、，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．4．若向量a与b的夹角为60°，

13、b

14、＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则

15、a

16、＝(　C　)A．2B．4C．6D．12[解析]　∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72．∴

17、a

18、2－

19、a

20、

21、b

22、cos60°－6

23、b

24、2＝－72．∴

25、a

26、2－2

27、a

28、－24＝0.又∵

29、a

30、≥0，∴

31、a

32、＝6．5．已知非零向量a，

33、b满足

34、b

35、＝4

36、a

37、，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　C　)A．B．C．D．[解析]　由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosa，b＝＝＝－，所以a，b＝，故选C．6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　D　)A．外心B．内心C．重心D．垂心[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．二、填空题7．(江苏高考)已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为　　．[解析]　由a·b＝

38、0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝．8．已知向量a、b夹角为45°，且

39、a

40、＝1，

41、2a－b

42、＝，则

43、b

44、＝　3　．[解析]　

45、2a－b

46、＝⇔(2a－b)2＝10⇔4＋

47、b

48、2－4

49、b

50、cos45°＝10⇔

51、b

52、＝3．三、解答题9．已知

53、a

54、＝10，

55、b

56、＝12，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)(3a)·；(3)(3b－2a)·(4a＋b)．[解析]　(1)a·b＝

57、a

58、

59、b

60、cosθ＝10×12×cos120°＝－60．(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36．(3)(3b－2a)·(4a＋b)

61、＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3

62、b

63、2－8

64、a

65、2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．10．已知

66、a

67、＝4，

68、b

69、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求

70、a＋b

71、；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解析]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

72、a

73、2－4a·b－3

74、b

75、2＝61．∵

76、a

77、＝4，

78、b

79、＝3，∴a·b＝－6，∴

80、a＋b

81、＝＝＝．(2)∵a·(a＋b)＝

82、a

83、2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝．B级　素养提升一、选择题1．(2018·四川绵阳期末)下列命题中错误的是

84、(　B　)A．对于任意向量a、b，有

85、a＋b

86、≤

87、a

88、＋

89、b

90、B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．对于任意向量a·b，有

91、a·b

92、≤

93、a

94、

95、b

96、D．若a、b共线，则a·b＝±

97、a

98、

99、b

100、[解析]　当a⊥b时，a·b＝0也成立，故B错误．2．定义：

101、a×b

102、＝

103、a

104、·

105、b

106、·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若

107、a

108、＝2，

109、b

110、＝5，a·b＝－6，则

111、a×b

112、等于(　B　)A．－8B．8C．－8或8D．6[解析]　由

113、a

114、＝2，

115、b

116、＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴

117、a×b

118、＝

119、a

120、·

121、b

122、·sinθ＝2×5×＝8．3．若非零向量a、b满足

123、a

124、＝

125、b

126、，且(

127、a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　A　)A．B．C．D．π[解析]　由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又

128、a

129、＝

130、b

131、，所以a·b＝3·(

132、b

133、)2－2b2＝b2，所以cosa，b＝＝＝，所以a，b＝，故选A．4．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　C　)A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]　由2－·＝·＋·，得·(－)＝·(－)，即·＝·，∴·＋·＝0，∴·(