2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数

2、形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积

3、及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算

4、的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念SFα1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=

5、F

6、

7、S

8、cosα。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生

9、回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cos（2）定义说明：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有

10、关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号（5）探究题组一：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，∴·＝０；③当与的夹角是60°时，有·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°

11、，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.探究二：研究数量积的几何意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=︱││︱cos注：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

12、b

13、；当q=180°时投影为-

14、b

15、.2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos的乘积。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的

16、性质性质：若ａ和ｂ均为非零向量（1）ａ⊥ｂａ·ｂ＝0（垂直）（2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ=︱ａ︱·︱ｂ︱，ａ与ｂ反向时，ａ·ｂ=-︱ａ︱·︱ｂ︱特别地：ａ·ａ=︱ａ︱2=（长度）（3）cosθ=（夹角）（4）︱ａ·ｂ︱≤︱ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件）2、探究题组二（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）·（-3），并思考此运算过程类似于实数