2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义.

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1、平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

6、a

7、

8、b

9、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），

10、记作a·ba·b=

11、a

12、

13、b

14、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。

15、a

16、cosθ（

17、b

18、cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

19、a

20、

21、b

22、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1解：a·b=

23、a

24、

25、b

26、cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知

27、a

28、=5，

29、b

30、=4，a与b的夹角θ=1

31、20°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

32、a

33、=√2,

34、b

35、=2,θ=45°∴a·b=

36、a

37、

38、b

39、cosθ=√2×2×cos45°=2a·b的几何意义：OABθ

40、b

41、cosθabB1等于的长度与的乘积。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中

42、，是任意三个向量，注：ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的投影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例4、的夹角为解:3、用向量

43、方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°作业：P108A组1,2,3步步高