江苏省南通市通州高级中学2020届高三数学内部专题3.4 函数的应用题.docx

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1、§3.4函数的应用题【典题导引】例1．如图是某海滨浴场平面示意图．为矩形，米，米，的中点为圆弧所在圆的圆心，．圆弧及线段，为水中救生线，其总长度记为米，设．（1）求关于的函数的解析式，并指出该函数的定义域；（2）求水中救生线总长度最长时的值．(例1题图)[参考数据：]例2．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮

2、弹可以击中它？请说明理由．（例2图）例3．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为千米和千米，点N到的距离分别为千米和千米，以，所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型.（1）求的值；（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为.①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.例4．如图，圆是某城区一块半径为的空地，

3、是圆东西方向的直径，点在南侧，满足，且．现规划在圆的内接四边形区域内建商业区，其中，．在南侧的半圆区域内，过点建道路为圆的弦），在区域内建最大的圆形舞台（如图）．其它区域内建配套设施和休闲娱乐设施．（1）求商业区四边形面积最大时，的大小；（2）求圆形舞台面积最大时，道路的长度．例5．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（），如图1所示，其中AEEB30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（），如图2所示，其中AEEFBF10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案

4、．A图2图1BABEEF（例5图）【课后巩固】1．如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，，且半径平分．现拟在上选取一点，修建三条路,,供游人行走观赏，设．（1）将三条路,,的总长表示为的函数，并写出此函数的定义域；AOBCPα（第1题）（2）试确定的值，使得最小．2．将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以为侧棱，将A作为

5、正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？l1l2ABC（第2题）3．如图，某机械厂欲从米，米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且，．设，四边形ABEF的面积为（单位：平方米）．ABCDFE（第3题）θ（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面

6、积最小，并求出最小值．4．如图是某海滨浴场平面示意图．为矩形，米，米，的中点为圆弧所在圆的圆心，．圆弧及线段，为水中救生线，其总长度记为米，设．（1）求关于的函数的解析式，并指出该函数的定义域；（2）求水中救生线总长度最长时的值．(第4题)[参考数据：]5．如图，有一块矩形空地，，．现规划在该空地四边形内建一个商业区，其中顶点为商业区的四个入口，且入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，，，矩形内其余区域均为绿化区．（1）设km，求的取值范围．（2）设商业区的面积为，绿化区的面积为，问入口如何选址，即为何值时，可使得该商业区的环境舒适度指数最大？6．如图，是南北

7、方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客观光，拟过曲线上某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元／百米、40万元／百米．建立如图所示的平面直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元．题中所涉及长度单位均为百米．（1）求的解析式；（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价．xyOBACPMN（第6题图）北南东西7．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知

8、圆柱形部分