二阶拟线性微分方程组边值问题正解的存在性

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1、第26卷第1期大学数学Vo1．26，№．12010年2月C(IIEGEMATHEMATICSFeb．2010二阶拟线性微分方程组边值问题正解的存在性梁超(德州学院数学系，德州253023)[摘要]运用不动点指数理论，讨论了用PIaplacian算子研究奇异边值问题正解的存在件．作为其应用，给出了一个例子．[关键词]PIaplacian算子；奇异边值；不动点指数；正解[中图分类号O175．8[文献标识码jA[文章编号]16721454(2OlO)o1006卜081引言考察二阶拟线性奇异微分方程组两点边值问题(SBVP)(“))(f

2、)+“(￡)f(t，“()，u())一0，())(t)+；tb(t)g(t，“(￡)，(t))一0，B、(“，(O))一“(1)+B(M，(1))一O，(1·1)“(0一u(0一Bl((0))一(1)+B1((1))一0，其中t∈(0，1)，(r)一l32『p2，()一Ij，P，q>1，>0，“，b∈C[(O，1)。(0，+。c)]，-，，g∈C[(0，1)×[0，一)×Eo，。。)，(0，+一)]，即a()，6()，f，g在t一0。l处有一定的奇异性．由于奇异边值问题具有广泛的数学与物理应用背景，近年来，已引起人们广泛注意．文

3、[2]分别利用五个泛函不动点定理、锥拉伸及锥压缩不动点定理得到了三个对称正解的存在性和两个正解的存在性．而对于含参数的P—Iaplacian算子型奇异微分方程组边值问题，至今仍没有文献讨论其正解的存在性．因此，本章致力于研究SBVP(1．1)正解的存在性．设E—cEo，1]×cEo，1]，对V(，)∈E，令1l(“，)Ij—max{I“{f，II，}J“l—maxl(t)l，}JlI—maxI()l，J—Eo，1]，则(E，iI．j)为一Banach空间．令，∈』Q一{(“，，)∈E：“(t)≥t(1一)M(S)，()≥t(1)

4、(s)，M(t)，(t)是非负的凹函数，Vt，s∈J}，则易证Q为E中的锥．因而，可由Q引入E中的一个半序，(“，)，(“)∈E．(，u)≤(“，：)当且仅当对V∈J，“1(f)≤“2(t)，1(t)≤2(f)．函数(“，)称为SBVP(1．1)的正解，若(j)“，∈C-o，1]nc(0，1)，对V∈-，，有“()>o，(￡)>o且满足sBVP(1．1)边界条件．(ii)p(“(t))，‰((t))在(0，1)上局部绝对连续且((M()))一-2a()f(t，“()，())，(q((f)))一一6()g(t，“(t)．())在(

5、0，1)上几乎处处成立．下面列出第二节要使用的引理．引理1．1[3]设P为实Banach空间E中的锥，为E中的有界开集，∈，A：Pnn—P为严格集压缩算子．(i)若≠A，V∈Pn刁力，∈Eo，1]，则i(A，Pn力，P)一1．[收稿日期]2007—07—0962大学数学第26卷(ii)若inf／IA：r1I>0且Ar≤，V∈Pnan，则i(A，Pnn，P)0∈Pnan2正解的存在性为方便起见，先给出下列假设：(H。)，，g∈c[(0，1)x[o，cO)×[0，。3)，(0，C×3)]，且存在函数叫，g∈cE(o，1)，(0，。。

6、)]，ft，gEcEEo，。。)×Eo，oo)，Eo，C-~

7、)是定义在[O，+C／,D)上的连续不减函数，且存在”>0，使得对所有的v>jo满足O≤B，()≤／F／，J=0，1．有了以上准备，下面给出本文的主要结果．定理2．1设(H)一(Hj)成立，则对任意的r>0，存在：(r)>0，使得当∈(0，(r))时，SBVP(1．1)至少有两个正解(“，．)和(“。，u)且满足O<(“，)l

8、A(“，)一(A1，(“，)，A2，(“，))其中。(j㈩，)，㈤)d)+j'(，1)))。≤≤。59(㈩(⋯())d)+()-厂()，)))r·≤f≤1；。(㈥，)ds)+())，1)))。≤≤B。(f()g(s，“(s)，())ds)+()，)))r≤f≤1