n阶非线性常微分方程组奇异积分边值问题三个正解的存在性

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1、高校应用数学学报2012，27(2)：168～174仡阶非线性常微分方程组奇异积分边值问题三个正解的存在性李耀红一，张海燕，张正林。(1．宿州学院智能与信息处理实验室，安徽宿州2340002．宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000)摘要：应用Leggett—WilliamsN动点定理，研究了n阶非线性常微分方程组奇异积分边值问题，当非线性项^，gi满足一定增长性条件时，得到了上述边值问题至少存在三个正解的充分条件．关键词：n阶常微分方程组；奇异积分边值问题；正解；不动点定理中图分类号：0175．8文献标识码：A文章编号：1000—4424(2012)02—0168—007

2、§1引言本文研究n阶非线性常微分方程组奇异积分边值问题l札(”)(t)-4-al()fl(t，札()，u())=0，0

3、【0，+∞)×[0，+。。)，【0，十。。))，ai(t)fi(t，0，0)在(0，1)的任何子问上都不恒等于零，定义(s)dt(s)，(s)dt(s)为Riemann—Stieltjes积分，i=l，2．具有积分条件的微分方程边值问题起源于各种不同的应用学科，如化学工程、热传导、等离子物理、流体力学等，其包含两点及多点边值问题作为特殊情形，这些问题近年来受到了深入广泛的关注，见文_1．5]及其参考文献．最近，对于高阶常微分方程组边值问题的研究，也获得收稿日期：2011—10—25修回日期：2012—03—10基金项目：安徽省高校省级自然科学研究项目(KJ2012A265；KJ

4、2012B187)；宿州学院硕士科研启动基金(2008yss23)；宿州学院科研平台项目(2012YKF33)李耀红等：n阶非线性常微分方程组奇异积分边值问题三个正解的存在性169了许多优秀的结果，见文[6—10]及其参考文献，而奇异积分边值问题(1)鲜有文献提及．特别地，文【9]在非奇异情形下，研究了下列常微分方程组边值问题㈤㈤㈣㈣㈤一lI正解的存在性，改进了文[7，8]的结果．其中n2，fl，．厂2∈([0，1]×+×+，JR+)(+：=[0，+∞))．在奇异情形下，文[10]在(2)中u(1)=u(叩)，v(1)=删(叩)的三点边值条件下，文[6]在(2)／L／L㈣、J㈣

5、qhu(1)=∑m-1^u(毛)，v．一=(1)=．=∑(啦)的多点边值条件下，均获得了正解的存在性．受上述文献启发，本文考虑更一般的常微分方程组边值问题(1)正解存在的充分条件，所ⅡU=一=用方法、条件和所获结果不同于文献f6—101．首先，本文运用Leggett—Williams不动点定理，而文『6一lo]~U运用Krasnosel’skii不动点定理或不动点指数定理等．其次，本文要求非线性项满足一定增长性条件，而文『6一l0]要求非线性项满足超线性或次线性条件．另外，本文获得了边值问㈣㈣题(1)至少存在三个0正解0的=充分：条件，而文f6一lo]仅获得了边值问题至少一个或

6、至少两个正解的存在性．进一步地，本文还获得了边值问题(1)相应的Green~数，同时本文的奇异积分边值问题涵盖了两点、三点及多点边值问)题．因此本文改进和推广了相关文献结果．在本文中总假<定如<下条一件=成立．(H1)为f0，11上单调增加的非常值函数且(0)=0，i=1，2，(H2)a{(￡)在(0，1)的任何子区间上不恒等于零，且存在to∈(0，1)使得ai(to)>0，00∈P；(2)X，-X∈P=

7、0，㈤则称P为E中的锥．定义2．2设P为Banach空间E中的一个锥．若映射：P一[0，+∞)连续且对Vz，Y∈P和Vt∈f0，1]，有，、fl(tx+(1一))tfl(~)+(1一)()(Z(tx+(1～))t()+(1一)())，＼／则称是P上非负连续凹f凸)泛函．令是锥P上非负连续凹泛函，a，6是两个常数且满足0