二阶非线性常微分方程组边值问题的正解-论文.pdf

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1、第26卷第3期军械工程学院学报Vo1．26No．32014年6月JournalofOrdnanceEngineeringCollegeJun．2O14二阶非线性常微分方程组边值问题的正解刘健，封汉颍(军械工程学院基础部，河北石家庄050003)摘要：研究一类二阶常微分方程组两点边值问题，利用Krasnoselskii’S不动点定理，得到当_厂和g满足超线性或次线性时边值问题一个正解存在的充分条件．关键词：常微分方程组；边值问题；Krasnosel'skii不动点定理中图分类号：O175．8文献标识码：A文章编号：1008—2956(2014)03—00

2、75—04PositiveSolutionofBVPforSystemsofNonlinearSecond-OrderDifferentialEquationsLIUJian，FENGHan—ying(BasicCoursesDepartment，OrdnanceEngineeringCollege，Shijiazhuang050003，China)Abstract：Aboundaryvalueproblemisstudiedforsystemsofnonlinearsecond—orderordinarydif—ferentialequations．

3、ByusingKrasnoselskii'sfixedpointtheorem，thesufficientconditionisestablishedthatatleastonepositivesolutiontotheproblemexistswhenfandgaresuperlinearorsublinear．Keywords：positivesolution；boundaryvalueproblem；krasnoselskii'sfixedpointtheorem两点边值问题正解的存在性．在适当条件下，运用Krasnoselskii’S不动点定理

4、得到了该边值问题至少存在1个正解的充分条件．假设条件(H)：f，g．[0，+0o)一[0，+。。)连续，g(o)一0．假设条件(H)：矗，kEC([O,1]，[0，+。。))在f寺，号]上不恒为0．1预备知识和引理显然，(“，)∈C[0，1]×C。[O，1]为边值问题(1)的解，等价于(“，)∈cEo，1]×c[o，1]为非线性积分方程组r一()一()-厂((￡))，tE(O，1)，r1j一()一是()g(“(￡))，(1)Jf“(z)一lO(t，s)h()，((s))ds，l“(O)一U(1)一0，(0)一(1)一0(2)i()一lG(t，s)志(s

5、)g(“(s))ds收稿日期：2013—0906；修回日期：2014—05—15基金项目：国家自然科学基金资助项目(11271106)；河北省自然科学基金资助项目(A2012506010)；河北省青年科学基金资助项目(A2ol4506016)作者简介；刘健(199o一)，男，硕士研究生．主要研究方向：微分方程与动力系统．76军械工程学院学报2O14的解，其中G(t，5)为Green函数．G(t，s)的表达式为或者G一Q、fs(1一￡)，0≤S≤t≤1，2)_厂o：。。，g。===。。和一0，g。。一0(次线性)时'5一{(1一)，01．至少存在1个正解

6、．因此，非线性积分方程组(2)可以化为非线性积证明：对VUEK，首先证AKCK．分方程A(￡)一r1G(￡，s)^(s)×Jo)：j’Gs))×，(IG(s，r)愚(r)g((r))dr)ds，￡EEo，1-]．厂(1G(s，r)忌(r)g(M(r))dr)ds．由引理1可知，令E—C[0，1]，llU}l—max1u(t)l，K一0≤Au(f)一1G(t，s)h(s)×{M∈E：“()≥o，t∈Eo，1]，rain()≥Il_l}，寻≤≤导-厂(JfOG(s，r)k(r)g(u(r))dr)ds≤{÷-J『I0h㈤(s)×．则(E，{l·l1)为实B

7、anach空间，K为E中的一个厂(1G(s，r)(r)g(“(r))dr)ds≤，EEo，1]．锥．定义因此，Au㈤一胁≤)x厂(IG(s，r)k(r)g(“(r))dr)ds，(3)厂(1G(s，r)k(r)g((r))dr)ds．(4)于是边值问题(1)的正解的存在性及个数问题归结由引理1和式(4)可得为算子A的正不动点的存在性及个数问题．A(f)一JG(t，5)(5)×引理1Green函数G(t，s)连续，0≤G(t，s)≤1，-厂((fIG(s，，rr))愚愚((rr))gg((““((rr))))dr)ds≥{_去_df0()×，对于Vt,s

8、∈f_告，号1，G(，s)≥告．do引理2若满足假设条件(H)，则A：K—K厂(Jr1oG(s