三阶非线性三点边值问题的正解-论文.pdf

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1、2014年1O月枣庄学院学报Oct．2014第3l卷第5期JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSITYV01．31N0．5三阶非线性三点边值问题的正解徐鑫，李德虎(安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601)[摘要]针对U‘t)=a(t)f(U(t))，0

2、正解；格林函数；三阶三点边值问题；不动点定理[中图分类号]0175．8[文献标识码】A[文章编号]1004—7077(2014)05—0o54—030引言文献[1]考虑了下列三阶边值问题正解的存在性：f‘t)=Aa(t)f(t，(￡))0<<1(1)L(0)I--(1)=”()=0文献[2]考虑了下列三阶边值问题正解的存在性：I‘t)+(￡(t))=00<<1(2)L(0)=(1)=0，(1)=()=0受到上面两篇文章的启发，本文考虑了不同边值问题(1)式正解的存在性问题，即』‘‘)=口()()0<￡<1(3)L(0)=(1)，(叼)=0，(1)：

3、0基本假设如-V：(H。)o∈C([0，1]一[0，+oo))，且存在t0∈[0，1]，使得口(t0)≠0；()口Ec([0，1]一[0，+oo))，且存在t0∈[0，1]，使得n(t0)≠0；主要证明基于下面的不动点定理：定理1．1设E是一个Banach空间，cE是E中的一个锥，0

4、IIuI1，∈aK；则A在．上有一个不动点．考虑E=c[0，1]，在E中构造如下锥P：P={“∈E：(t)≥0，m⋯in、u(t)≥llII，t∈[0，1]}(4)其中由引理(2．1)给出，范数lIIJ=maxIu1．容易验证P为E中锥．⋯，定义算子A：P—E[收稿日期]2014—06—29[基金项目]安徽大学“2l1”基金项目(项目编号：2009QN029B)；安徽省教育厅资助项目(项目编号：KJ2011ZO18)．[作者简介]徐鑫(1979一)，男(回族)，安徽巢湖人，安徽大学数学科学学院讲师，理学硕士，主要从事控制论、物流与供应链协调、运筹与

5、决策的研究．·54·徐鑫，李德虎三阶非线性三点边值问题的正解Au(t)=JfG(，s)a(s)(s))ds，0≤t≤1，U∈P(5)01引理证明边值问题(1．1)有解的充要条件是算子方程=有不动点．引理1．1令y(t)∈cE0，1]，则边值问题(L(1)-_=U(0)，U(())：=0，((1))：=0。

6、：由”(t)上y(s)ds—”(o)，(t)=Jcy(s)(t—s)ds—Utt(0)一(0)，(t)=丢f‘(t—s)，，(s)一孚”(o)一“(0)t—(0)．由边值问题可求得：()=1上ty(s)ds一‘(s)(1一s)一f~Y(s)(叼一s)s。+，，(s)t’7一号JcIy(s)t+丢t，，(s)(t—s)(9)容易验证：o≤G(￡，s)≤G(V，s)，o≤s，￡≤1，．，7∈[号，1]引理1．2令叼∈[号，1-1，则存在常数>o，使得G(￡，s)≥G(叼，s)，o≤s，≤1．证明：(1)若s∈[．，7，1]，则G2(s)=s一82>O，

7、且G(叼，s)在[，7，1]上连续，故存在常数l>O，使得：G(t，s)≥G(s)≥y1G(，)(2)若s∈[0，]，则当s≤￡时，c2(s)=s一詈≥量=G(．，7，s)．当s≤t时，G。(叼，s)=s一2，G2(s)=s一手≥s一2=Gl(叼，s)，从而当s∈[0，叼]时，Gz(s)≥Gl(叼，s)，故G(77，s)=G。(叼，s)+G：(s)≤G2(s)+G2(s)≤2G2(s)，即G(￡，s)≥号G(，7，s)．取=min1，y1}，则G(，s)≥G(，s)，0≤s，￡≤1．根据Green函数的性质，对VEP，Au(￡)≥0，t∈[0，1]

8、，且Au(￡)=JG(，s)a(s)(s))ds≥7IG(叼，s)a(s)U(s))ds．tom—I≥max]G(，s)(