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1、2014年1O月枣庄学院学报Oct.2014第3l卷第5期JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSITYV01.31N0.5三阶非线性三点边值问题的正解徐鑫,李德虎(安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601)[摘要]针对U‘t)=a(t)f(U(t)),02、正解;格林函数;三阶三点边值问题;不动点定理[中图分类号]0175.8[文献标识码】A[文章编号]1004—7077(2014)05—0o54—030引言文献[1]考虑了下列三阶边值问题正解的存在性:f‘t)=Aa(t)f(t,(£))0<<1(1)L(0)I--(1)=”()=0文献[2]考虑了下列三阶边值问题正解的存在性:I‘t)+(£(t))=00<<1(2)L(0)=(1)=0,(1)=()=0受到上面两篇文章的启发,本文考虑了不同边值问题(1)式正解的存在性问题,即』‘‘)=口()()0<£<1(3)L(0)=(1),(叼)=0,(1):3、0基本假设如-V:(H。)o∈C([0,1]一[0,+oo)),且存在t0∈[0,1],使得口(t0)≠0;()口Ec([0,1]一[0,+oo)),且存在t0∈[0,1],使得n(t0)≠0;主要证明基于下面的不动点定理:定理1.1设E是一个Banach空间,cE是E中的一个锥,04、IIuI1,∈aK;则A在.上有一个不动点.考虑E=c[0,1],在E中构造如下锥P:P={“∈E:(t)≥0,m⋯in、u(t)≥llII,t∈[0,1]}(4)其中由引理(2.1)给出,范数lIIJ=maxIu1.容易验证P为E中锥.⋯,定义算子A:P—E[收稿日期]2014—06—29[基金项目]安徽大学“2l1”基金项目(项目编号:2009QN029B);安徽省教育厅资助项目(项目编号:KJ2011ZO18).[作者简介]徐鑫(1979一),男(回族),安徽巢湖人,安徽大学数学科学学院讲师,理学硕士,主要从事控制论、物流与供应链协调、运筹与5、决策的研究.·54·徐鑫,李德虎三阶非线性三点边值问题的正解Au(t)=JfG(,s)a(s)(s))ds,0≤t≤1,U∈P(5)01引理证明边值问题(1.1)有解的充要条件是算子方程=有不动点.引理1.1令y(t)∈cE0,1],则边值问题(L(1)-_=U(0),U(()):=0,((1)):=0。6、:由”(t)上y(s)ds—”(o),(t)=Jcy(s)(t—s)ds—Utt(0)一(0),(t)=丢f‘(t—s),,(s)一孚”(o)一“(0)t—(0).由边值问题可求得:()=1上ty(s)ds一‘(s)(1一s)一f~Y(s)(叼一s)s。+,,(s)t’7一号JcIy(s)t+丢t,,(s)(t—s)(9)容易验证:o≤G(£,s)≤G(V,s),o≤s,£≤1,.,7∈[号,1]引理1.2令叼∈[号,1-1,则存在常数>o,使得G(£,s)≥G(叼,s),o≤s,≤1.证明:(1)若s∈[.,7,1],则G2(s)=s一82>O,7、且G(叼,s)在[,7,1]上连续,故存在常数l>O,使得:G(t,s)≥G(s)≥y1G(,)(2)若s∈[0,],则当s≤£时,c2(s)=s一詈≥量=G(.,7,s).当s≤t时,G。(叼,s)=s一2,G2(s)=s一手≥s一2=Gl(叼,s),从而当s∈[0,叼]时,Gz(s)≥Gl(叼,s),故G(77,s)=G。(叼,s)+G:(s)≤G2(s)+G2(s)≤2G2(s),即G(£,s)≥号G(,7,s).取=min1,y1},则G(,s)≥G(,s),0≤s,£≤1.根据Green函数的性质,对VEP,Au(£)≥0,t∈[0,1]8、,且Au(£)=JG(,s)a(s)(s))ds≥7IG(叼,s)a(s)U(s))ds.tom—I≥max]G(,s)(
2、正解;格林函数;三阶三点边值问题;不动点定理[中图分类号]0175.8[文献标识码】A[文章编号]1004—7077(2014)05—0o54—030引言文献[1]考虑了下列三阶边值问题正解的存在性:f‘t)=Aa(t)f(t,(£))0<<1(1)L(0)I--(1)=”()=0文献[2]考虑了下列三阶边值问题正解的存在性:I‘t)+(£(t))=00<<1(2)L(0)=(1)=0,(1)=()=0受到上面两篇文章的启发,本文考虑了不同边值问题(1)式正解的存在性问题,即』‘‘)=口()()0<£<1(3)L(0)=(1),(叼)=0,(1):
3、0基本假设如-V:(H。)o∈C([0,1]一[0,+oo)),且存在t0∈[0,1],使得口(t0)≠0;()口Ec([0,1]一[0,+oo)),且存在t0∈[0,1],使得n(t0)≠0;主要证明基于下面的不动点定理:定理1.1设E是一个Banach空间,cE是E中的一个锥,04、IIuI1,∈aK;则A在.上有一个不动点.考虑E=c[0,1],在E中构造如下锥P:P={“∈E:(t)≥0,m⋯in、u(t)≥llII,t∈[0,1]}(4)其中由引理(2.1)给出,范数lIIJ=maxIu1.容易验证P为E中锥.⋯,定义算子A:P—E[收稿日期]2014—06—29[基金项目]安徽大学“2l1”基金项目(项目编号:2009QN029B);安徽省教育厅资助项目(项目编号:KJ2011ZO18).[作者简介]徐鑫(1979一),男(回族),安徽巢湖人,安徽大学数学科学学院讲师,理学硕士,主要从事控制论、物流与供应链协调、运筹与5、决策的研究.·54·徐鑫,李德虎三阶非线性三点边值问题的正解Au(t)=JfG(,s)a(s)(s))ds,0≤t≤1,U∈P(5)01引理证明边值问题(1.1)有解的充要条件是算子方程=有不动点.引理1.1令y(t)∈cE0,1],则边值问题(L(1)-_=U(0),U(()):=0,((1)):=0。6、:由”(t)上y(s)ds—”(o),(t)=Jcy(s)(t—s)ds—Utt(0)一(0),(t)=丢f‘(t—s),,(s)一孚”(o)一“(0)t—(0).由边值问题可求得:()=1上ty(s)ds一‘(s)(1一s)一f~Y(s)(叼一s)s。+,,(s)t’7一号JcIy(s)t+丢t,,(s)(t—s)(9)容易验证:o≤G(£,s)≤G(V,s),o≤s,£≤1,.,7∈[号,1]引理1.2令叼∈[号,1-1,则存在常数>o,使得G(£,s)≥G(叼,s),o≤s,≤1.证明:(1)若s∈[.,7,1],则G2(s)=s一82>O,7、且G(叼,s)在[,7,1]上连续,故存在常数l>O,使得:G(t,s)≥G(s)≥y1G(,)(2)若s∈[0,],则当s≤£时,c2(s)=s一詈≥量=G(.,7,s).当s≤t时,G。(叼,s)=s一2,G2(s)=s一手≥s一2=Gl(叼,s),从而当s∈[0,叼]时,Gz(s)≥Gl(叼,s),故G(77,s)=G。(叼,s)+G:(s)≤G2(s)+G2(s)≤2G2(s),即G(£,s)≥号G(,7,s).取=min1,y1},则G(,s)≥G(,s),0≤s,£≤1.根据Green函数的性质,对VEP,Au(£)≥0,t∈[0,1]8、,且Au(£)=JG(,s)a(s)(s))ds≥7IG(叼,s)a(s)U(s))ds.tom—I≥max]G(,s)(
4、IIuI1,∈aK;则A在.上有一个不动点.考虑E=c[0,1],在E中构造如下锥P:P={“∈E:(t)≥0,m⋯in、u(t)≥llII,t∈[0,1]}(4)其中由引理(2.1)给出,范数lIIJ=maxIu1.容易验证P为E中锥.⋯,定义算子A:P—E[收稿日期]2014—06—29[基金项目]安徽大学“2l1”基金项目(项目编号:2009QN029B);安徽省教育厅资助项目(项目编号:KJ2011ZO18).[作者简介]徐鑫(1979一),男(回族),安徽巢湖人,安徽大学数学科学学院讲师,理学硕士,主要从事控制论、物流与供应链协调、运筹与
5、决策的研究.·54·徐鑫,李德虎三阶非线性三点边值问题的正解Au(t)=JfG(,s)a(s)(s))ds,0≤t≤1,U∈P(5)01引理证明边值问题(1.1)有解的充要条件是算子方程=有不动点.引理1.1令y(t)∈cE0,1],则边值问题(L(1)-_=U(0),U(()):=0,((1)):=0。6、:由”(t)上y(s)ds—”(o),(t)=Jcy(s)(t—s)ds—Utt(0)一(0),(t)=丢f‘(t—s),,(s)一孚”(o)一“(0)t—(0).由边值问题可求得:()=1上ty(s)ds一‘(s)(1一s)一f~Y(s)(叼一s)s。+,,(s)t’7一号JcIy(s)t+丢t,,(s)(t—s)(9)容易验证:o≤G(£,s)≤G(V,s),o≤s,£≤1,.,7∈[号,1]引理1.2令叼∈[号,1-1,则存在常数>o,使得G(£,s)≥G(叼,s),o≤s,≤1.证明:(1)若s∈[.,7,1],则G2(s)=s一82>O,7、且G(叼,s)在[,7,1]上连续,故存在常数l>O,使得:G(t,s)≥G(s)≥y1G(,)(2)若s∈[0,],则当s≤£时,c2(s)=s一詈≥量=G(.,7,s).当s≤t时,G。(叼,s)=s一2,G2(s)=s一手≥s一2=Gl(叼,s),从而当s∈[0,叼]时,Gz(s)≥Gl(叼,s),故G(77,s)=G。(叼,s)+G:(s)≤G2(s)+G2(s)≤2G2(s),即G(£,s)≥号G(,7,s).取=min1,y1},则G(,s)≥G(,s),0≤s,£≤1.根据Green函数的性质,对VEP,Au(£)≥0,t∈[0,1]8、,且Au(£)=JG(,s)a(s)(s))ds≥7IG(叼,s)a(s)U(s))ds.tom—I≥max]G(,s)(
6、:由”(t)上y(s)ds—”(o),(t)=Jcy(s)(t—s)ds—Utt(0)一(0),(t)=丢f‘(t—s),,(s)一孚”(o)一“(0)t—(0).由边值问题可求得:()=1上ty(s)ds一‘(s)(1一s)一f~Y(s)(叼一s)s。+,,(s)t’7一号JcIy(s)t+丢t,,(s)(t—s)(9)容易验证:o≤G(£,s)≤G(V,s),o≤s,£≤1,.,7∈[号,1]引理1.2令叼∈[号,1-1,则存在常数>o,使得G(£,s)≥G(叼,s),o≤s,≤1.证明:(1)若s∈[.,7,1],则G2(s)=s一82>O,
7、且G(叼,s)在[,7,1]上连续,故存在常数l>O,使得:G(t,s)≥G(s)≥y1G(,)(2)若s∈[0,],则当s≤£时,c2(s)=s一詈≥量=G(.,7,s).当s≤t时,G。(叼,s)=s一2,G2(s)=s一手≥s一2=Gl(叼,s),从而当s∈[0,叼]时,Gz(s)≥Gl(叼,s),故G(77,s)=G。(叼,s)+G:(s)≤G2(s)+G2(s)≤2G2(s),即G(£,s)≥号G(,7,s).取=min1,y1},则G(,s)≥G(,s),0≤s,£≤1.根据Green函数的性质,对VEP,Au(£)≥0,t∈[0,1]
8、,且Au(£)=JG(,s)a(s)(s))ds≥7IG(叼,s)a(s)U(s))ds.tom—I≥max]G(,s)(
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