【硕士论文】非线性常微分方程边值问题的正解.pdf

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1、曲阜师范大学硕士学位论文非线性常微分方程边值问题的正解摘要非线性泛函分析作为现代数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的广泛关注．其中，非线性边值由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有着广泛而重要的应用，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一．本文的目的是在半序理论的基础上，利用非线性泛函分析方法研究Banach空间中奇异半正微分方程边值问题正解的存在性及无穷区间上常微分方程边值问题正解的存在性．经过深入的研究我们得到了一些新成果，其中一篇已在《高校应用数学学报》发表，另一篇已被《应用泛函分析

2、学报》录用．根据内容本文分为以下四章：．第一章是本文的绪论部分．主要介绍了本文的研究课题．第二章我们对具有深刻应用背景的奇异半正问题进行研究．第一节研究了一类二阶导数项系数卢<71．2的四阶奇异半正边值问题，采用不动点指数定理结合平移变换，得到了其C2[o，1】nc4(o，1)正解存在的一个判定方法，并进一步改进和推广了有关文献的结果．第二节考虑下列边值问题正解的存在性l一∥(t)-4-pCt)u(t)=≯(t)，(t，t‘(t))，0

3、点指数定理，得到了该边值问题正解存在的一个定理．第三章则对无穷边值问题的正解进行研充．并得到了一些新的结果．并给出了解决这类问题的一种新方法．第一节通过构造特殊的锥，利用不动点指数定理，同时考虑无穷区间的情况，同样获得判定奇异Sturm-liouville边值问题砩[o，+oo)正解的存在的一种方法．第二节考虑了一类奇异无穷区间边值问题的正解，其中f∈c(【0，+。o)×【0，+oo)×(一∞，o)，【0，+o。))，，可在t=o，pu7=0堕皇堕堇盔堂堕主堂垡堡塞——处奇异，同时考虑无穷区间的情况，这是以往文章所没有涉及到的．为了克服上述弱化，

4、条件所带来的困难，我们利用非线性备择性定理来证明本文中的主要结果．关键词：微分方程；边值问题；正解；半正；无穷区间；锥第一章绪论非线性泛函分析是分析数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科，它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，建立处理非线性问题的若干一般性理论和方法．因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象，近年来受到了国内外数学及自然科学界的高度重视，逐渐形成了一门重要的学科．二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大得突破．首先Banach压缩映象原理、Leray—Schauder拓扑度理论、抽象锥的不动点理论、临界点理论的提出

5、，促进了非线性常微分方程、偏微分方程各种问题得到研究．郭大钧先生在专著[1—41中利用锥理论讨论了多种非线性问题，主要是近几十年来发展起来的一些最新结果，诸如某些典型的非线性算子，Sammersteln积分方程，常，偏微分方程，迁移方程，锥理论及非线性算子方程的正解，非线性算子拓扑度和不动点定理以及固有值，解的个数与分支，都作了系统的概括和总结．由于无穷维空间框架中，处理分析学的非线性问题的方式有着无穷的潜力，近年来，非线性泛函分析已经成为研究数学、物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具．边值问题由于在物理学、应用数学、航天、生

6、物等领域有着广泛而重要的应用，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一．其中有限区间上的边值问题，围绕非线性项非负的情况(Positone问题)，许多著名的数学家用非线性泛函分析中的拓扑度理论、临界点理论、半序方法、上下解方法、不动点理论、迭合度理论、单调迭代方法等理论和方法，对此问题进行了深入的研究，得到了许多新结果【5．10】．无穷区间上的边值问题所得到的结果却较少，无穷区间上常微分方程边值问题实际上来源于对非线性椭圆型偏微分方程径向对称解的研究，虽然对Stur-Liouville微分方程在无穷区间上的边值问题的研究已经有了很大的发展，但是对于

7、一般的微分方程仍存在很多实际问题有待于进一步解决．另外，对半正的情况，到目前为止，仍没有十分有效的解决方法．就我们所知，对奇异半正问题的研究工作较少．所以，运用几十年来非线性分析中发展起来的多种先进的分析工具，来研究非线性奇异半正常微分方程边值问题或无穷边值问题，是一个具有浓厚兴趣并可获取有意义的新成果的研究课题．第二章奇异半正边值问题正解的存在性§2．1四阶奇异半正边值问题正解的存在性§2．1．1引言某些两端固定的弹性梁在受力作用后形变的物理过程常用四阶两点边值问题Ju(4)(t)+触Ⅳ(￡)=f(t，u(蛾0

8、Ⅳ(o)=uⅣ(1)=0来描述．关于此问题正解的存在性，文[11】在，∈c((o，1)×[0，+∞)，[0，+。。))的条件下进行过探讨