【硕士论文】非线性微分方程(组)边值问题的解.pdf

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1、凸阜师范大学硕士学位论文非线性微分方程(组)边值问题的解摘要非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它为解决当今科技领域中出现的各种非线性问题提供了富有成效的理论工具．在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程和微分方程中发挥不可替代的作用．关于三阶非线性微分方程边值问题的研究，已有丰富的文献(见[1】_[16])．相比之下，对于三阶非线性微分方程组边值问题，研究的人较少，相应的文献也要少的多．由于实际的需要(见[171【19])，进一步研究非线性微分方程组边值问题就具有其内在价值．对于四阶非线性边值问题有许

2、多作者做过研究，如文献[33]_[39】．文献[33]-[36]采用上下解方法研究了四阶边值问题解的存在性．这些作者讨论了形如u(4’(t)=，(t，u(t))的方程，即，不含u”的情形．最近文献[37】一[39]利用上下解迭代方法讨论了形如的方程，对．厂同时含Ⅱ7，“”和“”’项的情况研究很少．我们有必要对_厂含有“’和¨”7的情形进行研究．本文第二章中，利用Krasnonel’sⅫ’s不动点定理，结合Leray—Schauder度，研究非线性三阶微分方程组边值问题I札；7(f)=^(t，ul(f)，u2(t

3、)，··-，“。(t))，t∈[o，1]，I扎：(o)=u?(o)=地(1)=o，i=l，2，3常号解的存在性和多解性．—————～—————堕i呈堡整盔堂堡圭堂垡堡塞在本章中我们使用下面一些假设，其中晚∈(I，一l}，—蟊={“∈B}吼啦(t)≥o，t∈Io，1]，1曼i茎n)，Ⅳ2{“∈Ⅳf易％(f)>o丑∈[0，IJ，习∈{I，2，3，⋯，礼}=露＼o，∽u)∈m]×霞；口。五(t，让)>o，(￡，珏)∈m]×K(c2)任给i∈(

4、1，2，3，⋯，扎}存在连续函数q{：[o，。。)斗[o，。。)和连续增函数训：，：【o，。。)-÷【o，oo)使得吼五(t，“)≤吼(t)∞fl(}u，f)叫；2(1ⅡzJ)⋯”m(ju。J)，(￡，扎)∈fo，1J×露(G3)存在o>o，使得对任意i∈(1，2，3，⋯，n’使得o>d；叫tl(o)tu。2(Ⅱ)··叫m《Q)，兵甲画=8翌p，／G；(f，s)吼(s)ds，1si≤n．一一￡∈f0，11Jo(c4)任给J∈{1，2，3，⋯，n)存在某～个≮∈{1，2，3，⋯，n)(i依赖j)嘶他u)芝郇)酬钏

5、，㈦札)∈眺1哨其中丁{，：医，；]-÷(。，。。)是连续的，(c5)存在_8>o，对任意的J∈{l，2，3，⋯，礼}存在某一个i∈f1，2，3，⋯，n}(i依赖．7同fG))满足：卢兰”村(；卢)Z。G。(叼，。)呵p)如，％∈[o，z]曲阜师范大学硕士学位论文其中序慨舻州拈。潞序他渊s油主要结论：定理2．2．1设^：fo，1]×兄“_÷R，l≤j≤n是连续的，如果存在不依赖A的常数p>0，使得方程组r1u；(￡)=A／Gi(t，s)五(5，u(s))ds，￡∈[o，1]，1≤i≤几，A∈(o，1)，J0的任

6、一解u∈(e[o，1])“，有⋯I≠p那么方程组(1)至少有一解“+∈(Cr[o，l】)”，并且忪‘

7、

8、≤P．定理222如果(c。)一(G)成立，那么方程组(1)有一常号解“‘∈(G[o，1])“，并且满足

9、

10、u+}fi。；(b)若a>卢，则卢≤IIⅡ+

11、I<。并且存在J∈{1，2，3，

12、⋯，n}使得。憨!如乱荆≥≯定理2．24如果(c。)一(G)成立，并且o<卢，那么(1)至少有两个常号解u1，u2∈(G[o，1])”满足o≤lIul

13、I

14、

15、墨卢并且存在J∈{1，2，3，⋯jn)，使得。罂31岛嵋(。)>i＆·定理2．2．5如果(G1)一(G)和(倪)lB：d成立，并且o<卢

16、

17、

18、

19、≤卢，并且存在j，≈∈f1．2，3，⋯、n)使得min以Ⅱ；(≠)>÷Q。鹞如“㈤三扣蚝瞄]。”74曲阜师

20、范大学硕士学位论文定理2．2．6假设(c1)，(Q)和(o)成立，并且当n=啦，f=1，2，3，⋯，k时(G)成立，当卢=凡2=1，2，3，⋯，m时(G)成立．(n)如果m=☆+1并且o<风<＆1<·-<仇<血≈<仇+l，那么(1)至少有2％个常号解“1，⋯，札2‘∈(e【o，11)“使得o<卢l茎

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