三阶非线性三点边值问题的正解.pdf

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1、东北石油大学学报第38卷第5期2014年10月joURNAIOFNORTHEASTPETROLEUMUNIVERSITYVo1．38No．5Oct．2O14DOI10．3969／j．issn．2095—4107．2014．04．015三阶非线性三点边值问题的正解孔令彬，金前德(东北石油大学数学与统计学院，黑龙江大庆163318)摘要：利用Krasnoselskii不动点定理及Ascoli—Arzela定理，研究含参数的非线性三阶三点边值问题，证明当参数取值范围不同时，该边值问题的正解存在性与不存在性．关键词：非线性三阶三点

2、边值问题；存在性；正解中图分类号：O175．8文献标识码：A文章编号：2095—4107(2014)05—0121—060引言非线性三阶三点边值问题来源于应用数学与物理等领域，已受到人们重视和研究[I-15]．SunY在文献[16]研究下述非线性三阶三点边值问题，即“(￡)+a()_厂(())===0，00．利用Krasnoselskii不动点定理及Schauder不动点定理，文献＼Ti}[16]在超线性或次

3、线性条件下证明存在∈(0，+C×3)．当∈(o，it)时，式(1)、(2)存在正解；当E(，+。。)时，式(1)、(2)不存在正解；当it—时，式(1)、(2)是否存在正解，在文献[16]中并未讨论．笔者研究非线性三阶三点边值问题，即“()+p。“()一f(t，“())，0<二t<：1；(3)“(O)+(O)一0，(1)一0，“(1)～()+pu()]一一．(4)式(3—4)中：'7∈(o，1)，ID∈(＼0，去J／)，a∈(0，1]，>o．式(3)、(4)较式(1)、(2)更一般些．当p一0时，式(3)、(4)与式(1)

4、、(2)相类似，可采用文献[16]的方法考虑正解存在性．笔者考虑p>0情形，通过适当变换，再利用Krasnoselskii不动点定理和Ascoli—Arzela定理，讨论参数变化时式(3)、(4)是否存在正解，所采用的方法与文献E16J不同，获得新结果．假设：(H)对每个固定的UEEo，+oo)，-厂(t，)在tEEo，1]上非负连续，对几乎所有的tEEo，1]，(t，“)关于¨≥0单调非增；(H，)limsuD生一0liminf生：+。。，．“一0十tE[0，1]““一+一∈[O，1]定义称函数“(f)为式(3)、(4)

5、的一个正解，如果它满足(i)“EC[0，1]nC。(O，1)并在(0，1)内“()>O；(ii)()满足式(3)和式(4)．主要结论为定理1假设(H)、(H)成立，则存在∈(0，+CXD)．当∈(0，]时，式(3)、(4)至少存在一个正解；当∈(，+(30)时，式(3)，(4)不存在正解．收稿日期：2014—04—09；编辑：关开澄基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12541076)作者简介：孔令彬(1956一)男，硕士，教授，主要从事非线性微分方程边值问题方面的研究·l21·东北石油大学学报第38卷2014年1式

6、(3)、(4)的等价形式及预备引理设c[o，1]是[O，1]上连续函数构成的Banach空间，C[0，1]一{∈c[o，1]；(f)≥0}，定义映射J：c[O，1]一c[0，1]，则r1Jv()一le-P“～(s)ds．(5)考虑问题(f)一(￡)+p。()一一f(t，Jv(￡))，(6)(0)一0，(1)一a()=，(7)容易知道，若(￡)满足式(3)、(4)，令“()+()一一口()，则(￡)满足式(6)、(7)，其中Jv(￡)由式(5)给出．反之，若()满足式(6)、(7)，令乱()一‘，()，则(￡)满足式(3)、

7、(4)，因此边值问题式(3)、(4)与边值问题式(6)、(7)等价．为证明文中主要结论，给出5个引理．引理1设()，z(f)是()一10(￡)+f。。(￡)一0的2个无关解,go()是边值问题(f)一(￡)+l0。u(￡)一一h()，(0)一0，u(1)一0的解，则(￡)一10(￡)+f0。()一一(￡)的任何解可表示为(￡)一C()+C。声。()+(f)，其中∈C[0，1]，c，c是任意常数．证明直接验证即可．引理2设pE(O’)，则线性边值问题zf(t)一()+l。u()一一矗(￡)，(0)一0，(1)一0，有惟一正解

8、(￡)一IG(t，s)h(s)ds，这里Green函数2)in(1，0≤5≤t≤1；西sin(8)2e号(t-s)Sin(1，0≤t≤s≤1．sin证明答易知遁齐次线性方程的通解为争ccos+c_ezsin)，利用常数变易法直接计算系数C和c，即得结果式(8)．引理3设』9一eesi’n雩10一e号si