非线性椭圆边值问题正解的存在性和正则性.pdf

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1、分类号Q!Z墨：2垦学校代码10542非线性椭圆边值问题正解的存在性和正则性ExistenceandRegularityofPositiveSolutionforTheEllipticEquationwithNonlinearBoundary场lueProblem硕士姓名：林浩指导教师姓名、职称：顾永耕教授学‘科专业：应用数学研究方偏微分方程湖南师范大学学位评定委员会办公室二零一一年五月，●摘要本文利用上下解方法和山路引理，讨论了两类带非线性Robin边值条件的半线性椭圆问题z∈Q，(1)z∈aQ．及，I一△u+许20，z∈Q，{u>0，z∈Q，(2

2、)【爱+Q“=up+Af(x)，z∈aQ．正解的存在性．其中常数Ot>0，A>0，P∈(1，南)，，(z)≥0，Q是印中的光滑有界区域，n>2．本文得到了带奇异系数的问题(1)解的存在性，对于问题(2)，本文证明了存在系数入。>0，对VA∈(0，A。)，问题(2)至少存在两个不同的解．＼关键词：Robin问题，正则性，上下解：存在性，迹定理．一2：旦胖

3、I1_，1¨仉№缸列汁叫∽c苦一孔H0ABSTRACTInthisthesis，weemployupper-lowersolutionsmethodandthemountainpasslemmatod

4、iscusstheexistenceofpositivesolutionstosemi—linearellipticequationswithtwotypesofnonlinearRobinboundaryconditions，and{嚣l曼{瑟二吐曼(1)(2)whereQ≥0，A≥0，P∈(1，i毛)，／(x)≥0Qisasmoothboundeddomainin舻(n>2)．Inthispaper，Weobtaintheexistenceofpositivesolutionstoproblem(1)withsingularcoefficient

5、．WeprovethatexistA}>0，forallA∈(0，A。)，thereareatleasttwopositivesolutions．Keywords：Robinproblem，Regularity,upper—lowersolutionsmethod，exis-tence，tracetheorem．II目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．I英文摘要⋯⋯⋯⋯_⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．II1．绪论2．预备知识2．1可微泛函⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(5)2．2Sobolev空间和嵌入定

6、理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6)2．3上下解方法和山路引理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(7)3．具有奇异系数的非线性边值问题3．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(9)3．2引理及定理A的证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9)4．非齐次非线性边值问题4．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(15)4．2第一个解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(15)4．3第二个解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(17)5．解的正则性5．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(23)5．2主

7、要结果及证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(23)结束语⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(27)参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(29)致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(33)非线性椭圆边值问题正解的存在性和正则性1．绪论半线性椭圆型方程在物理学，微分几何学，生物学当中有着重要的应用．例如天体引力平衡定律、Yamabe问题、气体的燃烧理论等等．因此一直以来，人们对半线性椭圆方程进行了广泛而深入的研究，取得了许多有价值的结果．例如：BrezisH，andNirenberg、S．L．Ad

8、imurthi，S．L．Yadava、DarioPierotti，SusannaTerracini、Xu-JiaWang等等．但是对半线性椭圆方程的研究人们大多只关注其边值条件为线性的情况，对非线性情形关注甚少．然而对非线性椭圆边值问题的研究，在理论上和实际应用上都是非常有意义的，这是我们工作的出发点．’下面简要叙述一下本文所研究问题的来源和研究现状．微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在，解的个数及求近似解的方法．20世纪70年代以后，近代变分法得到了重大的发展，并在解决半线性及拟线性椭圆方程边值问题中取得了许多重要的结

9、果．1973年由AmbrosettiA．与RabinowitzP．H提出了山路引理，山路引理的变形在非线性偏