分数阶微分方程边值问题正解的存在性.pdf

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1、第32卷第3期贵州大学学报(自然科学版)Vol_32No．32015年6月JoumalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)Jun．2015文章编号1000—5269(2015)03—0004一o3DOI：10．15958／j．cnki．gdxbzrb．2015．03．02分数阶微分方程边值问题正解的存在性于家富，周妍，孙建凯(1．齐鲁师范学院继续教育学院，山东济南250013；2．齐鲁师范学院数学学院，山东济南250013)摘要：本文利用上下解方法与不动点定理研究分数阶边值问题fD0+(t)+，(t，“)=0，0

2、1)=0，0≤J≤n一2正解的存在唯一性，这里一1

3、iemann．Liouville分数阶导数，I厂：[0，1]×[0，+∞)1预备知识=一一SS一(0，+∞)是连续函数。级为>0的Riemann—Liouville分数导数的、、a口近年来，分数阶微积分学及微分方程引起了越一一连续函数：(0，+∞)一(一∞，+。。)定义为：一来越多专家学者的关注，广泛应用于工程等各个领DO．f(币(蔷)￡O●域。一≤S随着分数阶微分学的发展，关于分数阶微积引理1．1-4(引理3．1)令f由(1)确定，则问题、≤分、分数阶微分方程的一些著作随之出现，可参考(1)等价于0，≤S文献[1]-[3]。“(t)=【G(t，5)厂(s，“(s))ds，≤●

4、越来越多的类似文献也相继出现，可参考文献S这里≤[4]一[1O]。G(t，s)：≤在文献[4]，C．Yuan研究了分数阶边值问1题：i(f1】fDo+u()+t,u)=0,0<(2)【Mu(0)=0，Ⅱ(1)=0，0≤≤n一2由f、G可以得到对任意的t∈[0，1]，M(t)≥0。这里参数A>0，f是变号的，在A充分小时，给出引理1．2令c￡，是问题(1)的正解，并且。(t)=了问题(2)正解存在性的充分条件。S．LiangandJ．Zhang【研究了下面的非线性JJG(￡，s)ds，则存在整数b≥0使得O一一分数阶边值问题。(￡)≤上1G(t,ss，∞(s))b~oto0()，

5、』跟()：()，(t,ix())，o<<(3)tu(0)=“(1)=(0)=Ⅱ(1)=0Vt∈[0，1](5)收稿日期：2014—11—05基金项目：国家自然科学基金项目资助(10791197)；山东省高等学校科技计划项目资助(J09LA55)；齐鲁师范学院青年基金项目资助(2013L1301)作者简介：于家富(1972一)，男，副教授，研究方向：泛函分析与复分析，Email：qlyujiafu@126．tom．}通讯作者：于家富，Email：qlyujiMu@126．corn．第3期于家富等：分数阶微分方程边值问题正解的存在性证明证明方法类似于文献[7]中的引理2．4，故t，

6、卢(t))≤()一t，(t))省略。引理1．3“(Sehauder不动点定理)令￡，是Ba—≤()t,／3(nach空间x的闭凸子空间，假设：—是紧空间，则在中有一个不动点。≤㈤)定义1．4如果函数(t)满足下面的条件，则称(7)函数口(t)是问题(1)的下解。由(6)与(7)得一卢(t)≤t，(t))，一Oo+O／(￡)=一D苔+艿'7(￡)+0

7、)函数(￡)是问题(1)的上解。≥t，卢(t))，一+(￡)1>f(t，y(t))，0<￡<1，／1,一1<≤n，显然(t)=两(t)，(t)：钿(t)满足问题(0)t>0，(0)≥0，，(0)I>0，⋯，y‘(0)1>0，(1)，因此(t)=却(t)，(t)=(f)分别是问(1)≥0。题(1)的下解和上解。2主要结果与证明下面证明边值问题首先给出假设条件：r％()g(t,u())，0<<(8)(H1)存在一个正数<1使得t，AM)>【‘’(0)=0，“(1)=0，0≤≤凡一2A^(t，／J