次线性条件下奇异二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性

《次线性条件下奇异二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第42卷第1期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.12010年3月JournalofNortheastNormalUniversity(NaturalScienceEdition)March2010[文章编号]1000
1832(2010)01
0014
04次线性条件下奇异二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性1,23沈文国,宋兰安(1.兰州工业高等专科学校基础学科部,甘肃兰州730050;2.兰州大学数学与统计学院,甘肃兰州730000;3.兰州工业高等专科学校图书馆,甘肃兰州730050)[摘
要]
应

2、用上下解方法和不动点定理,给出奇异二阶常微分方程三点边值问题x(t)+
(t,x(t))=0,t!(0,1);x(0)=0,x(1)=kx(
)存在C[0,1]正解的充分条件.这里
!(0,1)是一个常数,
!C((0,1)∀[0,#),[0,#)).[关键词]
奇异非线性三点边值问题;上下解;极大值原理;不动点定理[中图分类号]
O175.8


[学科代码]
110∃44



[文献标志码]
A[1
3]

二点奇异边值问题正解的存在性已被大量地研究,但比较而言,对于奇异多点边值问题正解的[4
6]存在性的研究

3、却进展缓慢.本文试图探讨x(t)+
(t,x(t))=0,t!(0,1);(1)x(0)=0,x(1)=kx(
)存在C[0,1]正解的条件,其中允许
(t,∃)在t=0,t=1处具有奇异性.我们假设(H1)存在常数
,k,使得0<
<1,
0

4、1
由(H2)可知c
(t,x)&
(t,cx)&c
(t,x),c∋1.(3)注2
由(2)式可得x,y![0,#)且x&y,有f(t,x)&f(t,y),t!(0,1).1
预备知识1[4]引理1
若假设(H1)成立,e(t):(0,1)([0,#)连续且满足条件0

5、![0,1].)01-k
)0其中G(t,s)为Green函数,s(1-t),0&s&t&1;G(t,s)=(5)t(1-s),0&t&s&1.[收稿日期]
2008
05
28[基金项目]
甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS051
A25
047).[作者简介]
沈文国(1963),男,博士研究生,教授,主要从事非线性泛函分析与常微分方程研究.第1期沈文国,等:次线性条件下奇异二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性15[4]引理2(极大值原理)
若假设(H1)成立,e(t)满足引理1的条件,a∋0,b∋0为给定的

6、常数,则奇异边值问题x+e(t)=0,t!(0,1);x(0)=a,x(1)=kx(
)+b的唯一解x(t)满足x(t)∋0,t![0,1].2定义1
若x(t)!C[0,1]∗C(0,1),x(t)满足奇异边值问题(1)且x(t)>0,t!(0,1),则称x(t)为边值问题(1)的C[0,1]正解.2定义2
设!(t)!C[0,1]∗C(0,1),若!(t)满足-!(t)&
(t,!(t)),
t!(0,1),!(0)&0,
!(1)&k!(
).则称!(t)是奇异边值问题(1)的下解.2定义3
设∀(t)!C[0

7、,1]∗C(0,1),若∀(t)满足:-∀(t)∋
(t,∀(t)),
t!(0,1),∀(0)∋0,
∀(1)∋k∀(
).则称∀(t)是奇异边值问题(1)的上解.2
主要定理及证明定理1
若假设(H1),(H2)成立,10

8、![0,1].)01-k
)0其中G(t,s)的定义如(5)式,由G(t,s)&s;t,s![0,1]及(6)式根据引理的证明(文献[4])可知,q1,2q2!C[0,1]∗C(0,1),且满足:q1(t)=-
(t,G(t,t)),t!(0,1),q1(0)=0,q1(1)=kq1(
);q2(t)=-
(t,1),t!(0,1),q2(0)