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《股票价格服从跳_扩散过程的期权定价模型_宁丽娟.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第31卷第4期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.31No.42003年12月JournalofShaanxiNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.2003文章编号:100123857(2003)0420016204股票价格服从跳2扩散过程的期权定价模型宁丽娟,刘新平(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062)摘要:研究了股票价格的行为模型问题.假定股票价格的跳过程为一类特殊的更新过程,建立了股票价格服从跳2扩散过程的行为模型.在风险中性的假设下,推导出了
2、基于股票的欧式期权定价公式.关键词:更新过程;扩散过程;Gamma分布;Possion过程;期权定价中图分类号:O211163文献标识码:AF.Black和M.Scholes1973年发表了题为“ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities”[1]的著名论文,其核心的期权定价模型就是著名的Black2Scholes期权定价模型,该模型假设股票价格服从几何布朗运动,而通过分析股票价格的行为过程,发现股票价格的变化并不总是连[2]续的,随后R.C.Merton首先建立了股票价格的跳
3、2扩散过程行为模型.本文假定跳过程为比Possion过程更一般的跳过程———一类特殊的更新过程,以此建立了股票价格为跳2扩散行为模型,推导出欧式期权定价公式,从而推广了文献[2]的结果.1金融市场模型[3]定义1Possion过程的到达时间间隔是独立同分布的服从指数分布的随机变量.如果顾客到达的时间间隔是独立同分布的随机变量,但其分布为任意分布,这样得到的计数过程就为更新过程.下面定义本文中提到的一类特殊的更新过程.定义2(Ti)i≥0是独立同服从Ga(α,λ)(α>0,λ>0)的随机变量序列,令nτn=∑Ti,(1
4、)i=1则计数过程Nt=supnτn≤t,t≥0(2)为一类特殊的更新过程.定理1如果(Nt)t≥0是一类特殊的更新过程,则λnαtλ(n+1)αtnα-1-λx(n+1)α-1-λxP(Nt=n)=xedx-xedx,n=0,1,⋯(3)Γ(nα)∫0Γ((n+1)α)∫0收稿日期:2003203210基金项目:国家自然科学基金资助项目(49771007,40141002)作者简介:宁丽娟(1977—),女,陕西凤翔人,陕西师范大学助教,硕士研究生第4期宁丽娟等:股票价格服从跳2扩散过程的期权定价模型17当α为正整
5、数时α(n+1)α-S(λt)-λtP(Nt=n)=∑e,n=0,1,2,⋯,(4)((n+1)α-S)!S=1特别地,当α=1时n(λt)-λtP(Nt=n)=e,n=0,1,2,⋯,(5)n!λ+∞S-1-x并且此类特殊的更新过程的强度为,其中Γ(S)=xedx,s>0.α∫0n证明利用Gamma分布的可加性,τn=∑Ti～Ga(nα,λ),密度为i=1nα-1(λx)-λxλe1{x>0}.Γ(nα)P(Nt=n)=P(τn≤t)-P(τn+1≤t)=λnαtλ(n+1)αtnα-1-λx(n+1)α-1-λx
6、xedx-xedx.Γ(nα)∫0Γ((n+1)α)∫0当α为正整数时λnαtλ(n+1)αtnα-1-λx(n+1)α-1-λxP(Nt=n)=xedx-xedx=(nα-1)!∫0((n+1)α-1)!∫0nαtα(n+1)α-Snαtλnα-1-λx(λt)-λtλnα-1-λxxedx-∑((n+1)α-S)!e-(nα-1)!∫xedx=(nα-1)!∫0S=10α(n+1)α-S(λt)-λt∑e.((n+1)α-S)!S=1当α=1时,由(4)可得(5).[3]1αλ由于更新过程的强度为,这里E(T1)
7、=,故此更新过程的强度为.E(T1)λα假设市场上存在两种可连续交易的证券,一种为风险证券,称为股票.在风险中性概率测度下,其价格过程St满足随机微分方程∞dSt=rdt-vd∑nPn(t)+σdWt+UdNt,(6)Stn=0其中r为瞬时无风险利率;σ为无跳时股票价格的波动率;Wt是标准的布朗运动;∞U(U>-1)为股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度,为随机变量;vd∑nPn(t)是n=0由更新跳跃带来的平均增长;v=E(U),其中E为期望算子.由Dolease2Dade指数公式,方程(6)的解为Nt2∞σS
8、t=S0∏(1+Ui)expr-2t-v∑nPn(t)+σWt,(7)i=0n=0其中Ui为τi时刻股票价格的相对跳跃高度,U1,U2,⋯是独立同分布的随机变量.0另外一种为无风险证券,称为债券,其价格过程St满足微分方程0dSt00=rdt,S0=1,St18陕西师范大学学报(自然科学版)第31卷0rt故0时刻价格为1的债券在t(t>0)时刻
