分数跳-扩散模型的标准回望期权定价.pdf

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1、第25卷第3期广东石油化工学院学报V01．25No．32015年6月JournalofGuangdongUniversityofPetrochemicalTechnologyJune2O15分数跳一扩散模型的标准回望期权定价庄乐(广东石油化工学院理学院，广东茂名525000)摘要：文章以看涨期权为例探讨了分数跳一扩散模型的标准回望期权定价问题，其中∈(1，1)，并给出了定价公式。关键词：长期记忆性；分数Brown运动；跳一扩散；Delta对冲中图分类号：F224文献标识码：A文章编号：2095—2562(2015)01一(}O72—03Mandelbmt⋯首

2、次发现股票的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾’’的分布，并存在长期记忆性。Peters把具有长期记忆性的分数Brown运动引入金融市场。Mnon[，Jarrow和Rosenfeld[4~指出股票价格的样本路径是非连续的，存在着跳跃。标准回望期权是强路径依赖期权的一个典型品种。因此，探讨分数跳一扩散模型的标准回望期权定价问题有着重要的现实意义和理论价值。1分数跳一扩散模型的标准回望期权定价1．1模型的假设在现实金融市场中，实际交易是在离散时间进行的，下面将考虑在离散时间交易的期权定价。在实完备概率空间(n，F，()。，P)中：(1)标的股票价

3、格S=S满足S=Soexp(+日日(t)+lnJ,)(1)式中：So，和O"H是常数；(￡)是分数Brown运动且口∈(寺，1)；Ⅳf是强度>0的Poisson过程；是正随机过程。另外，假设左连续且和．，。相互独立。(2)假设每隔时段，投资者会修正投资组合，其中是有限的、固定的、很小的时间间隔。(3)投资组合的期望收益率等于无风险债券的收益率r。(4)受可得性启发思想的影响，投资者模仿B—s模型中的Delta对冲策略进行期权定价。(5)在[t，t+]范围内，P(=0)=1一&，P(州=1)=。1．2模型的推导r1对任意的o≤￡≤T，定义m=millS，()=

4、(IS：dz-)~，则1imM()=。u≤r≤t√0⋯记=V(t，S，m)为到期日为在时间t标的股票看涨回望期权的价格。利用Delta对冲原理，在时间t构造投资组合Ⅱ=V(t，S，m)一△S(2)经过离散间隔后，投资组合的价值变化收稿日期：2015—02—08；修回日期：2015—03—29基金项目：茂名市软科学项目(20140340)；广东石油化工学院理学院科研扶持项目(LK201406)。作者简介：庄乐(1985一)，女，河南南阳人，硕士，职称，主要研究方向为随机分析与金融工程。第3期庄乐：分数跳一扩散模型的标准回望期权定价731I=3V(t，S，)一A

5、。(1)当=0时，E[(38)o=S22()+0((&))E[avJsc)]。=+]+研av+2V-r]0+0(()因此，邸rⅡ1]_△f)Elos(DV+南((()(2)当3N,=1时，E[3S]1=E[S+＆一S]=E[S+(exp(+H(t))一1)+(S+一S)]=E[S+(exp(+BⅣ(t))一1)]+E[。一1]S丝：!++E[(f，5，)]：E[(，LS，m)]一(f，Js，m)+E[&+OS．+V￡—++—■嚣_(+0叭(()(6)所以E[Ⅱ]。=E[3V(t，S，m)]。一AE[]。(7)由1议(3)、(4)得(1一)E[311to+A&

6、E[Ⅱ]1=rII令△=孤DV，由式(4)～(8)可得++(r-AE1])sav+1Is(川+AE[V(t，s，)]=0对固定的(t，)，令n一一∞，式(8)可写成av+(r—E[一1DV+1s2(&)82V_一(，+)V+AE[(，St,mt)]：01．3)模型的求解))看涨回望期权满足边界条件(，Jsr，mr)=Sr—m，OVIs：=0，(，0，％)：0，一1(当s一+∞He)定义Vo(f，S，，仃，r)为一般的满足边界条件(11)的看涨标准回望期权定价公式，则Vo(。，s，m，，r)=一靴一r(r—t[』v(d)一专(熹)一』v(一d，)]+S[N(d

7、)一-~N(一d。)]堕一一。+2r式中：}；；+；0-。设In．，，服从标准差为，的正态分布，则满足式(10)和边界条件(11)的解的表达式为e-a(T-t))=~,Vo(t，S，m，，rn)(13)n=。0：式中：=E[]；2=(＆)+2J；=r—AE[J—1]+ln(E[．，])。特别地，若&一0，则：一2，，可见此时Hurst~(日没有影响到期权的定价。74广东石油化工学院学报2015年2结论本文以看涨期权为例，通过模型的假设、推导，得出了分数跳一扩散模型(∈(1，1))的标准回望期权价格满足的偏微分方程，并通过模型的求解给出了其定价公式。最后指出，

8、当进行连续时间交易时，日并没有影响到期权的定价。[参