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1、宝鸡文理学院学报(自然科学版),第26卷,第1期,第10-14页,2006年3月JournalofBaojiUniversityofArtsandSciences(NaturalScience),Vol.26,No.1,pp.10-14,Mar.2006跳扩散模型的期权定价*杨云锋,金浩,刘新平(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062)摘要:Merton在1976年建立了著名的跳扩散模型,本文利用了随机分析中的鞅方法推广了Merton关于欧式期权定价的结果,讨论了跳扩散模型的一般情形:假定股票价格过程遵循Poisson跳跃的扩散过程,股票预期收益率,波动率和无风险利率均为时间的函
2、数,以及风险资产支付红利,并且有依赖于时间参数的红利率的情况下,获得了欧式期权的定价公式和买权与卖权之间的平价关系。关键词:跳扩散过程;期权定价;鞅方法;红利中图分类号:O211.6文献标识码:A文章编号:1007-1261(2006)01-0010-05Pricingoptionsonjump-diffusionmodelYANGYun-feng,JINHao,LIUXin-ping(Coll.Math.&Infom.Sci.,ShaanxiNormalUniv.,Xi'an,710062,Shaanxi,China)Abstract:TheresultsofMertononEuropean
3、optionpricingwasgeneralizedbyusingmartingalemethod,andthejump-diffusionmodel,establishedbyR.C.Mertonin1976,wasdiscussed.IfthestocksprocessisdrivenbyPoissonjump-diffusion,andtherateofexpectedstock-returns,fluctua-tingrateandrisk-lessratearefunctionoftimedependentbonusrate,thepricingformulaandput-call
4、parityofEuropeanoptionweregiven.Keywords:jump-diffusionprocess;optionpricing;martingalemethod;bonusMSC2000:60J75期权定价问题是金融数学中的核心问题之一。1973年Black和Scholes假定股票价格服从几何[1]Brown运动,用无套利复制的方法证明了著名的Black-Scholes公式,同年,Merton在若干方面作了[2]重要推广,使得期权定价理论取得了突破性的进展。1976年,Merton引入了跳跃扩散过程,在股票价[3]格的几何Brown运动之上加上各种跳跃,他建立了著名的
5、跳跃扩散过程模型。近年来仍有不少人在[4,5]这一方面作进一步研究。但他们讨论此问题时未考虑参数时间化或支付红利。本文将跳跃扩散模型一般化到如下情况:假定股票价格过程是遵循Poisson跳跃的扩散过程,股票预期收益率,波动率和无风险利率均为时间的函数,以及风险资产支付红利,且有依赖于时间的红利率。此时市场是不完备的,存在等价鞅测度,但是鞅测度不唯一,本文利用鞅方法找到了一个恰当的等价鞅测度,给出欧式期权的定价公式,以及欧式看涨与看跌期权之间的平价关系。1金融市场模型考虑连续时间的金融市场只有两种资产(P(t,T),St),一种是无风险资产,称为债券,其价格过程P(t,T)满足下面的微分方程:d
6、P(t,T)=P(t,T)r(t)dt,P(T,T)=1(1)-Tr(s)ds其中r(t)为瞬时利率(是无风险利率),则P(t,T)=eQt。*收稿日期:2005-05-15基金项目:国家自然科学基金资助项目(40371004)作者简介:杨云锋(1978-),男,陕西永寿人,在读硕士研究生,研究方向:金融数学.第1期杨云锋等跳扩散模型的期权定价11另一个是风险资产(股票),t时刻的价格用St表示,其满足随机微分方程dSt=u(t)dt+R(t)dWt+VdNt-KE(V)dt(2)St其中u(t),R(t)分别为股票的瞬时期望收益率和波动率,{Wt,0[t[T}是定义在概率空间(8,F,P)上
7、的标准Brown运动,设(Ft,0[t[T)是由{Wt,0[t[T}生成的自然R-代数,{Nt,0[t[T}是强度为K的Poisson过程,V1,V2,,,VNt为相互独立,同分布的随机变量,是股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度,KE(V)dt是由Poisson跳跃带来的平均增长,且{Wt,0[t[T},{Nt,0[t[T}与{Vi,1[i[Nt}是相互独立的,并且假定r(t),R(t),u
