股票价格服从分形跳_扩散过程的欧式幂型期权定价_董志英.pdf

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1、第24卷第5期乐山师范学院学报Vol．24,No．52009年5月JournalofLeshanTeachersCollegeMay．2009股票价格服从分形跳———扩散过程的欧式幂型期权定价董志英（乐山师范学院数学系，四川乐山614004）摘要：本文假定股价过程受分数布朗运动和跳过程共同驱动，且跳过程是比泊松过程更一般的一类特殊的更新过程，在红利率和无风险利率为时间的非随机函数情形下，利用分数风险中性定价原理得到了价格服从分形跳-扩散过程的欧式幂型期权定价公式.关键词：更新过程；分形跳-扩散；欧式幂型期权；分数风险中性定价；红利中图分类号：F830.9文献

2、标识码：A文章编号：1009-8666（2009）05-0019-02n期权是风险管理的核心工具.期权定价是现0，λ＞0）的随机变量序列，令τn=ΣTi，则计数过程代金融数学研究的前沿和热点问题.早在1973i=1年，Black和Scholes假定股票价格服从几何布朗Nt=sup{n∶τn≤t，t≥0}为一类特殊的更新过程.运动，并运用无套利复制的方法给出了著名的命题1[2]如果（N）是定义1中的一类特tt≥1Black-Scholes期权定价公式.后来大量实证表明，殊的更新过程，则模型的初始假定和实际情形存在偏差.同时市场λnβtnβ-1-λxp{Nt=n

3、}=Pn（t）=乙xedx-投资者还不断设计出各种新型期权来控制和减少Γ（nβ）0风险，幂型期权就是其中一种.为了准确描述股价λ（n+1）βt（n+1）β-1-λx乙xedx，n=0，1L收益波动的长记忆性，文献[1]以分数布朗运动替Γ（（n+1）β）0换布朗运动讨论了幂型欧式期权的定价问题.但实际市场中，股票价格并非连续变动，而呈现间断当β为正整数时：β的跳空过程.本文在分形市场中考虑产生非系统（λt）（n+1）β-s-λtp{Nt=n}=Σe，n=0，1…风险的偶然的资产价格的跳跃，并假定跳过程是s=1（（n+1）β-s）!比Possion过程更一般的一

4、类特殊更新过程，建立特别地，当β=1时：n了价格受分数布朗运动和跳过程共同驱动的行为（λt）-λtp{Nt=n}=e，n=0，1…n!模型，推导出了有红利支付的欧式幂型期权定价考虑金融市场上存在两种投资可能性，一种公式.是无风险资产债券，满足：1市场模型和预备知识dM（t）=r（t）M（t）dt，其中M（0）=1，另一种是风险资产，如股票，满足：定义1（T）ii≥1是独立同服从Ga（β，λ）（β＞收稿日期：2008-11-03基金项目：乐山师范学院青年教师科研启动项目（项目编号：Z07050）作者简介：董志英（1981-），女，四川乐山人，乐山师范学院数学系

5、讲师.19∞∞122H2H1dS（t）=S（t）（[u（t）-δ（t））dt-Vd（ΣnP（nt））+r（s）-δ（s））ds-VΣnP（nT-t）-σ（T-t）+n=0n=022mσdB（Ht）+UdNt]T22H2Hαασ（T-t）][仪（1+U）iN（d1）]-exp（-乙r（s）ds）称S（t）服从分形跳-扩散过程.其中u（t）是瞬i=1t时收益率，δ（t）是红利率，σ是无跳时股价波动率；K·N（d2）]}∞mααSt仪（1+U）iT∞Vd（ΣnP（nt））是由更新跳跃带来的平均增长；U1，σ（22α-1）lni=1+α[（（rs）-δ（s））ds-

6、VΣ（T2H-t2H）]n=0乙nP（nT-t）+d=ktn=021U，…是为价格发生跳跃时的相对跳跃高度，并且σαT2H-t2H2姨独立同分布，V=E（U1）；BH（t）是概率空间（Ω，F，P）d=d-ασ姨T2H-t2H21上的分数布朗运动，Ft=σ{B（Hs），s≤t}；假设{B（Ht），mα0≤t≤T}、{Nt，0≤t≤T}和{Ui，1≤i≤Nt}相互独立.其中εm是关于仪（1+U）i分布的期望算子，i=1引入新的等价鞅测度Q，N（·）表示标准正态分布函数.TT满足dQ｜FT＝exp[-乙γ（s）BH（s）-1乙γ2证明根据分数风险中性定价原理，C（

7、t，S）t=dP020QQTTαexp（-（rs）ds）E軒（[S-K）+]=exp（-r（s）ds）[E軒u（s）-r（s）乙tT乙t（s）]，γ（s）=ttσQTαt軒Q（SI）-E（KI）]劬exp（-（rs）ds）（A-B）Tαtα乙由分数Girsanov定理，BH（t）=BH（t）+乙γ（s），ST＞KST＞Kt0mT是测度Q下的分数布朗运动.由文献[3]可知，在该（m）αα记St=ST仪（1+U）iexp{α[乙（（rs）-δ（s））ds-t测度下市场是无套利的，且股价满足：i=1∞∞1QQ22H2HdS（t）=S（t）（[r（t）-δ（t））d

8、t-Vd（ΣnP（nt））+VΣnP（nT-t）-σ