高数试卷（下）2005高等数学II试题A及答案.doc

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1、所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：(20分)1．曲线在处的法平面方徎为________。2．点()到平面的距离为_______。3．设平面过点.则平面方程为________。4．已知,则=________。5．交换积分的积分次序为___________。6．设：．则=_________。7．函数u=ln(x2+y2+z2),则div(gradu)=。8．设函数f(x)是以为周期，f(x)=(-)，f(x)的Fourier级数为，则b3=。9．设函数f(x)是以为周期的奇函数，它的Fourier级数为，则级数=。10．下列四个命题：（1）.若级数发散

2、，则级数也发散；（2）.若级数发散，则级数也发散；（3）.若级数收敛，则级数也收敛；（4）.若级数收敛，则级数也收敛。上述正确的命题是______。二.（8分）求函数的极值，并指出是极大值，还是极小值。三.（8分）求级数的收敛域和它的和函数。四.（8分）计算，其中是抛物线上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。五.（8分）计算曲面积分,其中是由锥面与半球面所围立体的表面外侧。六．（10分）求下列方程的通解。1.;2.七.（8分）两个物体A、B的形状如图（一），体积相等，物体A是由抛物面（）和平面（）所围。物体B是柱体，它的母线平行于轴，底面是由所围的平面区域，求柱体B的高

3、。ajxytnOL八.（5分）设有二阶连续导数，为光滑的简单闭曲线的外法向量（如图二），为围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了如下结论：。若你认为是正确的，请给出证明过程；若你认为是错误的，请推理出正确的结论。九.（5分）证明不等式：。答案：一、1..2.1。3..4..5..6..7..8..9.0.10.(3)二、,驻点为,,,..由极值存在的充分条件知：为极小值点，为极大值点,和不取极值。三、,收敛域为（-1，1），因为.两边求导得.所以，,.四、。五、由高斯公式知：.六、1.令,化简为一阶线性方程:,解得:,即..也可直接得出：

4、,即，,,.2．特征方程：，,所以齐次方程的通解为：，设非齐次的特解形式为：.代入解得：.所以通解为：七、,.由，得.八、是不正确的（2分），正确结果应为。设从x轴正向到曲线的切向量（和曲线同向）方向和曲线的外法线方向的转角分别为。则总是有,而,（1分）=。（2分）注：主要要清楚夹角和转角的区别，如果用和x轴的夹角可能会得，从而得出错误结果，而在单位向量这种表示中的，应是转角。此题若回答错误，但也推出该错误结果，可给2分;此题若回答正确，但推理错误或没有推理，也可给2分。九、==.其中,.