高数试卷（下）2009高数（下）A及答案.doc

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1、2009高等数学（下）试题及答案一、填空题（每小题3分，共计27分）1曲面在处的切平面方程是_______。2曲线：绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程为。3函数由方程所确定,则=4累次积分交换积分次序后，5设L是上从,到的一段弧,则________.6微分方程的特解形式是_________7幂级数的收敛区间是8直线L：与平面：的关系是。（A）、平行（B）、垂直相交（C）、L在上（D）、相交但不垂直9下列级数中，发散的是（）A、；B、；C、；D、；二(6分)设,,其中有二阶连续导数,有二阶连续偏导数，求三(6分)将

2、函数展开成的幂级数.四(6分)计算，其中D为由不等式确定．五(7分)计算，其中是下半球面取上侧.六(7分)判断级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。七(7分)求解方程。八(7分)将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。九(7分)设D是单连通区域，函数在区域D上一阶偏导是连续的，证明:在区域D内是某函数的全微分的充分必要条件是在区域D内恒成立.一、填空题（每小题3分，共计27分）1;2;3;4;5;6;7;8A;9D.二(6分)解三(6分)

3、解,四(6分)解D的极坐标表示是：，．故五(7分)解设取下侧，则由高斯公式得:而.因此.六(7分)解级数是条件收敛的。由于,令,则是单调减少且区域0的数列,因此交错级数收敛,另一方面当时,,而,又发散,因此原级数条件收敛.七(7分)解方程变形得：，这是齐次方程。令得：，代入方程得：由原方程知，因此，对上式积分，得：即故方程的通解为：八(7分)解设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为，且这是条件极值问题。作函数为由得条件驻点，其中由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。所求的最小面积为九(7分)证明若

4、存在函数使得,则,,于是,而函数在区域D上一阶偏导是连续的,于是因此在D内恒成立.再证明充分性,由于,在区域D内积分与路径无关,设是区域D内取定的一点,为内任意一点,令.取点使在内.其中介于与之间,于是由偏导的定义，同理，又偏导连续,于是.